§ 3. Определитель матрицы линейного преобразования. Ранг матрицы

Отнесем пространство к ортонормированному базису и рассмотрим в нем линейное преобразование и Базисные векторы переходят при этом преобразовании в векторы

Координаты векторов составляют столбцы матрицы линейного преобразования А.

Вектор при преобразовании А перейдет в вектор и, где

Следовательно, вектор и раскладывается по векторам а, так же, как исходный вектор х по векторам

Рассмотрим единичный куб, построенный на базисных векторах Ориентированный объем этого куба равен в зависимости от того, будет ли тройка векторов правой или левой. Если воспользоваться величиной введенной в § 5 гл. I, то можно записать, что

При преобразовании А куб, построенный векторах перейдет в наклонный параллелепипед, построенный на лекторах Ориентированный объем этого параллелепипеда ранен смешанному произведению векторов

Используя выражение для смешанного произведения в координатах (§ 5 гл. I), получим

Определитель, содержащийся в этом выражении, отличается от определителя матрицы линейного преобразования А только тем, что в нем строки заменены столбцами. Так как величина определителя при этом не меняется, то

где через обозначен определитель матрицы А.

Рассмотрим теперь произвольный параллелепипед, построенный на векторах При линейном преобразовании А он перейдет в параллелепипед, построенный на векторах

При этом векторы раскладываются по векторам таким же образом, как векторы по векторам исходного базиса Поэтому, если обозначить через объем параллелепипеда, построенного на векторах а через — объем параллелепипеда, построенного на векторах то

Таким образом, определитель матрицы линейного преобразования представляет собой коэффициент искажения объема при линейном преобразовании.

Если то ориентированные объемы имеют одинаковый знак и, следовательно, преобразование А сохраняет ориентацию векторов; если же то преобразование А меняет ориентацию векторов на противоположную.

и векторы будут линейно зависимы. Предположим, что они не коллинеарны, и обозначим через и плоскость, порожденную этими векторами. Тогда каждый вектор перейдет в вектор лежащий в этой плоскости Следовательно, линейное преобразование А переводит все векторы пространства в векторы, лежащие в плоскости т.. Если же векторы коллинеарны, то преобразование А переводит все векторы пространства в векторы прямой на которой лежат векторы Наконец, если то преобразование А переводит любой вектор х пространства в нулевой вектор.

Если то линейное преобразование А называется вырожденным. Но, как мы только что видели, степень вырождения преобразования А может быть различной, Чтобы определить ее, введем новое понятие — понятие ранга матрицы, рангом матрицы

называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, содержащегося в этой матрице. Если , то ранг матрицы А равен трем, Если но векторы коллинеарны, то, как легко видеть, в этой матрице найдется отличный от нуля определитель второго порядка, поскольку по крайней мере два столбца ее не пропорциональны, и ранг матрицы будет равен двум. Если и векторы коллинеарны, то все определители второго порядка, содержащиеся в матрице, равны нулю, и ее ранг будет равен единице (конечно, при этом предполагается,

что хоть один из векторов отличен от нуля!). Наконец, пулевой ранг имеет только нулевая матрица

Обратно, если ранг матрицы А равен двум, единице или нулю, то эта матрица будет содержать соответственно два линейно независимых столбца, один линейно независимый столбец или же все элементы матрицы А равны нулю. А это означает, что среди векторов будет два линейно независимых или один или все они равны нулевому вектору.

Теперь мы подытожим предыдущие рассуждения и виде следующей теоремы.

Теорема. Если ранг матрицы линейного преобразования А пространства 1.3 равен то оно отображает это пространство на линейное пространство размерности

Примером преобразования ранга два может служить проектирование векторов пространства на одну из координатных плоскостей параллельно третьему базисному вектору. Например, при проектировании на плоскость вектору ставится в соответствие вектор . При таком преобразовании

и матрица этого преобразования имеет вид

Более общим преобразованием ранга два будет преобразование

где векторы попарно коллинеарны. Это преобразование отображает векторы пространства на векторы плоскости, порожденной векторами

Примером преобразования ранга один является проектирование векторов пространства на какую-либо ось. Если направление этой оси определяется единичным вектором то проектирование на нее задается формулой

Вэлее общим преобразованием ранга один будет преобразование

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)