§ 4. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричного линейного прейбразования

Рассмотрим симметричное линейное преобразование А. Такое преобразование, как было показано (стр. 103), удовлетворяет соотношению

где х и у — любые векторы пространства. Было также доказано, что в любом ортонормированном базисе симметричное линейное преобразование, и только такое преобразование, имеет симметричную матрицу. Заметим, что аналогично дается определение симметричного линейного преобразования на плоскости и в пространстве и доказывается, что только такие преобразования имеют в любом ортонормированном базисе симметричную матрицу.

Докажем теперь четыре теоремы о собственных векторах и собственных значениях симметричного линейного преобразования пространства Эти теоремы позволят нам полностью решить вопрос о наиболее простом виде матрицы такого преобразования и выяснить его геометрический смысл.

Теорема 1. Собственные векторы симметричного линейного преобразования, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

Действительно, пусть и - два различных собственных значения симметричного линейного преобразования А, а — соответствующие им собственные векторы. Тогда

Умножив первое из этих равенств скалярио на а второе — на получим

В силу симметричности преобразования А левые части этих равенств равны, поэтому равны и правые их части:

или

откуда, поскольку имеем

что означает периеидпкулярпость векторов

Теорема 2. Если а — собственный вектор симметричного преобразования А и вектор х перпендикулярен вектору а, то вектор также перпендикулярен вектору а, В самом деле, пусть вектор х перпендикулярен вектору а. Тогда Так как а — собственный нектор, то

Поэтому

А это и означает, что нектор перпендикулярен вектору а.

Заметим, что прин доказательстве теорем 1 и 2 мы нигде не пользовались тем, что размерность пространства равна трем. Тем самым эти теоремы доказаны для любого пространства в частности и для плоскости .

Теорема 2 для пространства означает, что если симметричное преобразование А имеет один собственный вектор, то любой перпендикулярный ему вектор тоже будет собственным. Для пространства эта теорема означает следующее. Если а — собственный нектор симметричного преобразования пространства и — перпендикулярная вектору а плоскость, то векторы, лежащие в плоскости при преобразовании А остаются в этой плоскости, т. е. плоскость является инвариантной плоскостью преобразования А. Перейдем теперь к третьей теореме.

Теорема 3. Корни характеристического уравнения симметричного линейного преобразования всегда действительны.

Предположим противное: пусть комплексный корень характеристического уравнения Так как это

уравнение имеет действительные коэффициенты, то число -сопряженное X, также является корнем уравнения Обозначим через собственные векторы, отвечающие собственным значениям X и X, так что

Векторы как мы отмечали на стр. 138, будут комплексно сопряженными векторами:

где — комплексно сопряженные числа.

Если то по теореме 1, которая сохраняет свою силу и для комплексных значений X, векторы будут ортогональны между собой и Но, с другой стороны,

Полученное противоречие доказывает теорему.

Заметим, что теорема 3 также будет справедлива для любого , в частности, для

Теорема 4. Симметричное линейное преобразование пространства имеет три взаимно ортогональных собственных вектора.

Пусть — собственное значение симметричного линейного преобразования А (действительное, как доказано выше) и а, — соответствующий ему собственный вектор. Тогда плоскость , ортогональная вектору будет инвариантной плоскостью по отношению к преобразованию А. В плоскости преобразование А будет снова линейным симметричным преобразованием. Пусть — некоторое его собственное значение и — соответствующий этому собственному значению собственный вектор. Вектор ортогонален вектору Пусть теперь вектор лежит в плоскости к и ортогонален вектору Из теоремы 2 следует, что этот вектор также будет собственным вектором преобразования А. Таким образом, мы нашли три взаимно ортогональных собственных вектора линейного преобразования А, что и требовалось.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)