§ 5. Приложение теории инвариантов к классификации поверхностей второго порядка

В этом параграфе мы каждый из 17 полученных в § 4 видов поверхностей второго порядка охарактеризуем с помощью инвариантов и семиинвариантом первый из которых является инвариантом для поверхностей III, IV,

V типов, а второй — для поверхностей V типа. В приводимой ниже таблице даются необходимые достаточные условия принадлежности поверхности второго порядка каждому из 17 видов.

(кликните для просмотра скана)

Продолжение табл. (см. скан)

Отметим прежде всего, что указанные в таблице признаки являются инвариантными относительно общего преобразования системы координат, так как инвариантны при таком преобразовании, тоже инвариантны при общем преобразовании для поверхностей тех типов, в признаки которых они входят.

Кроме того, эти признаки оказываются инвариантными по отношению к умножению левой части уравнения поверхности на некоторое число так как при таком умножении величины умножаются соответственно на Отсюда следует, что при доказательстве необходимости указанных условий можно исходить из канонических уравнений каждого вида поверхности второго порядка.

Проверим, например, необходимость выполнения указанных в таблице признаков для эллипсоида, однополостного гиперболоида, гиперболического параболоида, мннмого эллиптического цилиндра, параболического цилиндра и двух параллельных плоскостей.

1. Эллипсоид: Для него имеем

Отсюда видно, что для эллипсоида

3. Однополостный гиперболоид: Имеем

Если

и потому

Аналогично, если то

и

Поэтому соотношения в этом случае несовместны и, следовательно, или или

8. Гиперболический параболоид: Тогда

10. Мнимый эллиптический цилиндр: Имеем

14. Параболический цилиндр: . В этом случае

15. Две параллельные плоскости: . Здесь

В остальных случаях доказательство необходимости проводится аналогично, и мы предоставляем его читателю.

Что касается достаточности условий, содержащихся в таблице, то она вытекает из несовместности любых двух из 17 приведенных признаков и из того, что эти признаки исчерпывают все возможности.

Для кривых второго порядка аналогичную таблицу можно получить, рассмотрен девять последних строк приведенной таблицы, в которой вместо слов «эллиптический цилиндр», «мнимый эллиптический цилиндр», «гиперболический цилиндр», «параболический цилиндр» надо паписагь «эллипс», «мнимый эллипс», «гипербола», «парабола», а вместо слова «плоскости» поставить слово «прямые». Это следует из того, что уравнение

определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси и с направляющей, которая в плоскости определяется тем же уравнением, что и сама цилиндрическая поверхность.

Кроме того, если написанное уравнение рассматривать как уравнение поверхности и подсчитать для него инварианты и семиинварианты то окажется, что совпадают соответственно С инвариантами и семиинвариантом определенными для кривой (ср. § 1, стр. 181).