§ 3. Полилинейные формы. Общее определение тензора

1. Рассмотрим теперь в линейном пространстве скалярную функцию от векторных аргументов — функцию Эта функция называется полилинейной функцией, или полилинейной формой, если она линейна по каждому из своих аргументов, т. е. если для каждого из аргументов выполнены условия вида

Число аргументов называется степенью полилинейной формы Форма называется также -линейной формой.

Рассмотренные в § 1 линейные формы являются частным случаем полилинейных форм. Они будут формами первой степени, -линейными формами. Билинейные формы, рассмотренные в предыдущем параграфе, также являются частным

случаем полилинейных форм. Степень билинейных форм равна двум. Рассмотрим еще некоторые примеры полилинейных форм степени большей чем два.

а) Смешанное произведение векторов является трилинейной формой, так как для каждого из ее аргументов будут выполнены свойства 1) и 2),

б) Произведение трех линейных форм представляет собой трилинейную форму. В самом деле, если

то

и аналогично для остальных аргументов.

2. Рассмотрим, как запишется полилинейная форма зависящая от векторных аргументов, в координатном виде. Для определенности рассмотрим трилинейную форму . Каждый из векторов может быть разложен по базису

здесь обозначения для индексов суммирования мы выбираем различными только для удобства дальнейших выкладок. В силу линейности формы по всем аргументам, получим

где — значения формы от векторов базиса. Обозначим эти значения через

Тогда форма запишется в виде

Таким образом, трилинейная форма записывается как однородный многочлен третьей степени, линейный относительно трех рядов переменных Этот многочлен содержит слагаемых и столько же

коэффициентов Совокупность этих коэффициентов можно представить себе в виде кубичной матрицы третьего порядка.

Точно так же для -линейной формы , зависящей от четырех векторных аргументов, получим

где

Многочлен, при помощи которого записывается эта форма, имеет слагаемых и столько же коэффициентов

Аналогично -линейная форма зависящая от аргументов, запишется в базисе в виде

где

Коэффициенты этой формы имеют индексов, каждый из которых может принимать 3 значения. Всего такая полилинейная форма имеет коэффициентов.

Рассмотренная в первом примере трилинейная форма в координатной форме записывается так (гл. I, стр. 29):

Совокупность коэффициентов этой трилинейной формы представляет собой кососимметричный символ Кронекера.

Если линейные формы второго примера в базисе записываются в виде

то трилинейная форма будет выражаться так:

а ее коэффициенты представятся в форме

3. Введенные нами полилинейные формы определены независимо от выбора системы координат. Значения этих форм зависят только от значений их векторных аргументов, например, для формы — только от значений векторов

x, у и но не зависят от того, в каком базисе рассматриваются эти векторы. Следуя терминологии, введенной нами в § 6 гл. I (стр. 36), можно сказать, что полилинейные формы определены инвариантным способом.

Так как при переходе к новому базису координаты векторов меняются, то при этом будут меняться также и коэффициенты полилинейных форм (поскольку сама форма должна оставаться инвариантной). Совокупность коэффициентов инвариантной полилииейной формы представляет собой очень важный геометрический объект.

Определение. Геометрический (или физический) объект, который определяется совокупностью коэффициентов полилинейной формы записанной в некотором ортонормированном базисе, называется ортогональным тензором. Сами числа называются компонентами, или координатами, этого тензора.

Так как в данной книге никаких других тензоров, кроме ортогональных, не рассматривается, то всюду далее они называются просто тензорами. Будем говорить, что тензор определяется линейной формой Коэффициенты формы степени вычисляются, как мы видели, по формулам (1) и имеют индексов. Поэтому тензор, соответствующий полилинейной форме степени называют тензором валентности

Если форма задана в пространстве то каждый из индексов тензора может принимать независимо от других индексов значения 1, 2 и 3. Поэтому тензор валентности в трехмерном пространстве будет иметь компонент. На плоскости такой тензор будет иметь компонент, в линейном пространстве компонент.

Таким образом, совокупность коэффициентов линейной формы представляет собой тензор валентности 1. А так как скалярное произведение произвольного постоянного вектора а на переменный вектор х представляет собой линейную форму, то совокупность координат а; произвольного вектора а также представляет собой тензор валентности 1.

Точно так же совокупность коэффициентов билинейной фермы образующая матрицу представляет собой тензор. Это тензор иалентности 2. В частности, таким тензором будет совокупность симметричных символов

Кронекера так как они являются коэффициентами билинейной формы Этот тензор называется единичным тензором.

Еще одни пример тензора представляет совокупность кососимметричных символов Кронекера — они являются коэффициентами трилинейной формы . Валентность этого тензора равна трем. Тензор называется дискриминантным тензором.

Отметим еще, что скалярную величину, которая не зависит от выбора ортонормированного базиса пространства, называют тензором нулевой валентности. Тензор нулевой валентности можно рассматривать как единственный коэффициент линейной формы нулевой степени. Тензор нулевой валентности называют также инвариантом (т. е. неизменным), так как его единственная компонента не меняет своего значения при преобразованиях базиса.

Два тензора называются равными, если тождественно равны определяющие их полилинейные формы. Равные тензоры имеют одинаковую валентность, и их соответствующие компоненты попарно равны в любой системе координат. В самом деле, тождество

в координатной форме может быть записано в виде

Отсюда непосредственно следует, что

Тензор называется нулевым, если определяющая его полилинейная форма тождественно равна нулю. Все компоненты нулевого тензора равны нулю.

4. При переходе к новому базису координаты векторов, являющихся аргументами полилинейной формы, меняются по определенному закону, установленному нами в § 6 гл: I (см. формулы (7) на стр. 37). Поэтому коэффициенты полилинейной формы также будут изменяться совершенно определенным образом. Этот закон преобразования компонент тензора устанавливается в следующей теореме:

Теорема. Для того чтобы совокупность величин зависящая от выбора базиса, была тензором,

необходимо и достаточно, чтобы при переходе от ортонормированного базиса к такому же базису она изменялась по закону

Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть -тензор. Тогда величины представляют совокупность коэффициентов полилинейной формы

В новом базисе коэффициенты этой формы вычисляются по аналогичным формулам:

Но векторы нового базиса выражаются через векторы старого по формулам

Поэтому

И так как форма 9 полилинейная, то

Но в силу (1) эти равенства совпадают с доказываемыми соотношениями (2).

Перейдем к доказательству достаточности. Пусть величины при переходе к новому базису преобразуются по формулам (2). Рассмотрим векторов Их разложения по старому и новому базисам могут быть записаны в виде

Чгобы доказать, что система величин образует тензор, нужно доказать; что полилинейное выражение

является полилинейной формой, т. е. что оно зависит только от выбора векторов и не зависит от выбора

базиса. После преобразования базиса это выражение перейдет в

Подставляя сюда значения коэффициентов из соотношения (2) и из соотношений (7) § 6 гл. I, a из аналогичных соотношений, мы получим

Но в силу свойств ортогональных матриц (§ 5 гл. I)

Поэтому

что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)