§ 2. Механика деформируемой среды

1. Применим аппарат, построенный в § 1, для изучения механики деформируемой среды.

Рассмотрим некоторую сплошную среду — газ, жидкость, пластичное или упругое тело, которое движется пространств, испытывая при этом деформации. Пусть в начальный момент времени эта среда заполняла некоторый объем V и — радиус-вектор некоторой ее точки и начальный момент. С течеппем времени точка переместилась и пространстве и заняла новое положение М. Если обозначить радиус-вектор точки М через х, то будем иметь

где в правой части стоит векторная функция х векторного аргумента и времени непрерывная и дифференцируемая необходимое число раз по всем своим аргументам и удовлетворяющая условию

Если точка фикснронапа, то уравнение (1) представляет собой ураппение движения этой точки при изменении времени. Наоборот, если фиксировано премя то уравнение (1) описывает то повое положение точек рассматриваемой деформируемой среди, которое они займут в момент времени

Обозначим через скорость точки М деформируемой среды. Тогда по определению

Вектор является функцией от начального положения точки М, определяемого вектором и времени Но при фиксированном можно считать, что вектор является функцией координат точки М, т. е.

Таким образом, в каждый момент времени с деформируемой сплошной средой связывается векторное поле — поле скоростей точек этой среды. Пусть — координаты вектора по неподвижному базису гак что

Рис. 20.

Выделим в пашей сплошной среде малую окрестность некоторой ее точки Заполняющая эту окрестность среда, перемещаясь имеете со всей средой, испытывает некоторую деформацию и вращение. Рассмотрим движение всех часгиц, содержащихся в выделенной окрестности, за бесконечно малый промежуток времени М. С точностью до бесконечно малых второго порядка относительно М можно считать, что перемещение частицы, расположенной в точке М, определяется вектором Наряду с точкой нашей окрестности рассмотрим еще какую-нибудь ее точку М (рис. 20). При рассматриваемом смешении гочки М и М переходят соответственно в точки и причем

Обозначим через х радиус-вектор точки и пусть Тогда вектор и который переходит вектор при рассматриваемой деформации, можно записать следующим образом:

Но по формуле (8) предыдущего параграфа с точностью до бесконечно малых второго порядка относительно имеем

где — линейное преобразование с матрицей

составленной из производных координат вектора и по координатам точки М. Поэтому предыдущее соотношение может быть переписано в виде

или, если положить

где Е — тождественное преобразование пространства.

Равенство (2) означает, что век гор переходит в вектор посредством линейного преобразования где — линейное преобразование, определяемое тензором абсолютной производной векторного поля Это означает, что малая окрестность каждой точки деформируемой среды с точностью до бесконечно малых величин второго порядка относительно и испытывает однородную деформацию.

Запишем разложения векторов по базисным векторам

Тогда соотношение (2) в координатной форме перепишется так:

Сравнивая это равенство с соотношением (3) из предыдущей главы (стр. 242), заключаем, что тензор описывает полную деформацию бесконечно малой окрестности точки М, Используя обозначения стр. 242, запишем

Но в отличие от предыдущей главы тензор не будет оставаться постоянным, а будет меняться от точки к точке. Это связано с тем, что теперь рассматривается неоднородная деформация сплошной среды.

Как вытекает из результатов § 3 гл. симметричная часть тензора описывает чистую деформацию окрестности точки М, а кососиммегричная его часть — вращение этой окрестности вокруг точки М. Тензор чистой бесконечно малой деформации теперь может быть записан в виде

Тензор

называется тензором скоростей деформации. Тензор определяющий бесконечно малый поворот окрестности точки М, записывается так:

Ось, вокруг которой производится этот поворот, имеет направление вектора координаты которого, как было указано, связаны с компонентами тензора соотношениями

а угол поворота равен . С тензором вектор и связан так:

(в силу косой симметрии тензора знак альтернирования тензора к может быть опущен). Но из формулы (9) предыдущего параграфа следует, что величины являются координатами вектора Поэтому последняя формула

может быть переписана в виде

Отсюда становится ясным механический смысл ротора векторного поля если - поле мгновенных скоростей движущейся деформируемой среды, то векторное поле представляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц этой среды.

Полная деформация окрестности точки М определяется тензором который, как уже отмечалось в гл. VI, может быть представлен в виде

и, значит, состоит из чистой деформации и поворота вокруг точки М. Но, кроме того, окрестность точки М переносится параллельно, когда точка М переходит в положение Отсюда следует, что бесконечно малое перемещение окрестности точки М деформируемой среды состоит из чистой деформации, определяемой тензором бесконечно малого поворота, определяемого вектором , и параллельного переноса, определяемого вектором .

Вычислим еще коэффициент объемного расширения деформируемой среды. Для случая однородной деформации этот коэффициент равен (гл. VI, стр. 245)

Эта же формула остается справедливой и в общем случае, если применять ее к малой окрестности каждой рассматриваемой точки деформируемой среды. Пользуясь формулой (5) и учитывая, что перепишем последнее соотношение:

Но Поэтому

Последняя формула раскрывает механический смысл дивергенции векторного поля V: если — поле скоростей движущейся деформируемой среды, то представляет собой скалярное поле скоростей объемного расширения этой среды.

Теперь ясно, что условие несжимаемости деформируемой среды может быть записано и виде

Это означает, что поле скоростей несжимаемой среды является соленоидальным полем.

Заметим еще, что движение деформируемой среды называется безвихревым, если частицы жидкости при этом движении не вращаются. Из формулы видно, что для того, чтобы движение деформируемой среды было безвихревым, необходимо и достаточно, чтобы

т. е. чтобы поле скоростей этой среды было потенциальным.

2. Выведем теперь основные уравнения механики деформируемой среды. Пусть — плотность, — скорость частицы среды, находящейся в точке М в момент времени Функции предполагаются непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми функциями своих аргументов. Выделим снова в пашей среде достаточно малую окрестность точки М. Тогда масса этой окрестности с точностью до бесконечно малых величин высших порядков может быть вычислена по формуле

где -обьем этой окрестиосгп. При перемещении выделенной окрестности в пространстве, в соответствии с законом сохранения вещества, ее масса должна оставаться постоянной, т. е.

Но

где - точка, в которую переместится точка М за время М. Числитель дроби, стоящей под знаком предела, следующим образом может быть выражен через коэффициент объемного расширения:

или, в силу формулы (7),

Подставляя это выражение под знак предела и совершая предельный переход, получим

Если внести эту величину в соотношение (8) и сократить на , то найдем

Это уравнение называется уравнением неразрывности и является первым основным уравнением механики деформируемой среды.

Уравнение (9) обычно записывают в несколько иной форме. Во-первых,

во-вторых, в силу формулы (11) предыдущего параграфа

Подставляя эти выражения и уравнение (9), найдем

откуда

Последняя формула может быть переписана еще так:

3. Найдем второе основное уравнение механики деформируемой среды — уравнение движения. Для этого рассмотрим окрестность точки М, имеющую форму параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям, и центром в точке М. Обозначим длину ребра этого параллелепипеда, параллельного базисному вектору через площадь

грани, перпендикулярной этому вектору, — через и объем параллелепипеда через Тогда

Рассмотрим, какие силы действуют на элемент объема нашего тела, заключенный внутри выделенного параллелепипеда. Как уже указывалось (гл. VI, стр. 235), имеется два типа таких сил — объемные и поверхностные силы. Если обозначить через величину объемной силы, отнесенной к единице массы, то на выделенный элемент объема будет действовать сила

Поверхностные силы, действующие на выделенный объем, связаны с теми напряжениями, которые возникают в деформируемой среде. Эти напряжения описываются тензором напряжений который теперь не будет уже постоянным, как в гл. VI, а меняется от точки к точке, так что

(конечно, компоненты тензора напряжений являются достаточное число раз дифференцируемыми функциями координат точки).

Пусть линейное преобразование, порождаемое тензором напряжений в точке М. Найдем силы, которые действуют на две параллельные грани выделенного параллелепипеда, например на грани, перпендикулярные вектору Пусть М и — их центры, так что Тогда силы, действующие на правую и левую грани параллелепипеда, соответственно равны

так как векторы являются внешними нормалями к этим граням. Сумма этих сил будет раина

Применяя к разностям, стоящим в скобках, теорему Лагранжа (см. [2], стр. 177), получим

где точки принадлежат рассматриваемой окрестности точки М. Аналогично подсчитываются силы, действующие на остальные грани выделенного параллелепипеда.

Обозначим через ускорение, которое сообщают выделенной окрестности точки М действующие на нее силы. Тогда второй закон гопа для этой окрестности запишется в виде

Используя соотношение (11) и аналогичные ему выражения для и сокращая на получим отсюда

где точки принадлежат рассматриваемой окрестности точки М. Перейдем теперь к пределу при так как при этом точки последнее выражение примет

Теперь все величины, входящие в это соотношение, вычисляются в одной и той же точке М.

Обозначим через координаты вектора Так как то Выражение

есгь свернутая абсолютная производная тензорного поля Поэтому предыдущее уравнение может быть записано в виде

Это уравнение называется уравнением движения деформируемой срегды. Вместе с уравнением (10) оно составляет систему основных уравнений механики деформируемой среды.

Отметим, что уравнения (10) и (12) записаны в инвариантной форме и поэтому не зависят от выбора прямоугольной декартовой системы координат пространства.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)