ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 1. Понятие линейного пространства

В курсе аналитической геометрии читатель уже встречался с понятием свободного вектора — направленного отрезка, который можно переносить в пространстве параллельно его первоначальному положению. Обычно такие векторы обозначают жирными буквами латинского алфавита: Для простоты можно считать, что все эти векторы имеют общую начальную точку, которую мы обозначим буквой О и назовем началом координат.

В аналитической геометрии для векторов были определены две операции: а) сложение векторов х и у, обозначаемое

б) умножение вектора х на действительное число X, обозначаемое Совокупность всех векторов пространства является замкнутой относительно этих двух операций в том смысле, что при умножении вектора на число снова получается некоторый вектор и при сложении двух векторов — некоторый третий вектор из этой же совокупности.

Сложение векторов и умножение вектора на число обладают следующими свойствами:

3. Существует нулевой вектор 0 такой, что

4. Для каждого вектора х существует противоположный вектор такой, что

Однако не только для совокупности векторов пространства могут быть определены операции сложения и умножения на действительное число, обладающие указанными выше свойствами. Как мы увидим далее, существуют и другие множества элементов, на которых определены аналогичные операции. Такие множества называются линейными (или векторными) пространствами. Будем обозначать их буквой Элементы таких пространств будем также называть векторами.

Рассмотрим несколько примеров.

а) Совокупность векторов, лежащих на одной прямой, образует линейное пространство, так как сложение и. умножение таких векторов на действительное число приводит нас снова к векторам, лежащим на этой прямой, и свойства 1—8 легко проверяются. Обозначим такое линейное пространство через (Смысл нижних индексов выяснится в § 3.)

б) Совокупность векторов, лежащих в одной плоскости, также оказывается замкнутой по отношению к сложению и умножению на действительное число; свойства 1—8 для них выполняются, и поэтому эта совокупность образует линейное пространство, которое мы обозначим через

в) Совокупность всех векторов пространства также является линейным пространством. Обозначим его через

г) Совокупность векторов, лежащих в плоскости начала которых совпадают с началом координат, а концы лежат в первом квадранте, не образует линейного пространства, так как оказывается незамкнутой относительно умножения на число: при вектор не принадлежит первому квадранту.

д) Рассмотрим множество, элементом которого является упорядоченная совокупность действительных чисел; Определим сложение элементов и умножение элемента на действительное число А с помощью равенств

Такое множество элементов образует линейное пространство, так как определенные в нем операции сложения и умножения на число обладают, как легко видеть, всеми восемью указанными выше свойствами этих операций. Например, нулевым

вектором в этом пространстве будет вектор а вектором вектор Будем обозначать это пространство через

Совокупность всех многочленов степени не выше для которых обычным образом определены сложение и умножение на действительное число, как легко проверить, также образует линейное пространство,

ж) Множество непрерывных на отрезке функций также образует линейное пространство, если для этих функций естественным образом определить операции сложения и умножения на число. Это пространство мы будем обозначать

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)