§ 3. Размерность и базис линейного пространства

Размерностью линейного пространства называется наибольшее число имеющихся в нем линейно незанисимых лекторов.

Например, на прямой существует один линейно независимый вектор, а любые два вектора линейно зависимы.

Следо вательно, прямая представляет собой одномерное линейное пространство. Выше мы обозначили его Здесь нижний индекс как раз означает размерность пространства.

На плоскости существуют два линейно независимых вектора, но любые три вектора линейно зависимы. Поэтому плоскость является двумерным пространством и обозначается через .

В пространстве существуют три линейно независимых вектора, а любые четыре вектора линейно зависимы. Поэтому размерность пространства равна трем, и мы обозначим его через

В линейном пространстве, элементами которого являются векторы мы нашли линейно независимых векторов . С другой стороны, можно показать, что любые векторов этого пространства будут линейно зависимыми. Следовательно, размерность этого пространства равна и мы обозначили его поэтому через

Рассмотрим теперь произвольное -мерное линейное пространство (здесь, в частности, может быть равно 1, 2 или 3) и выберем в нем любые линейно независимых векторов Пусть х — произвольный вектор пространства. Тогда векторы будут линейно зависимыми, так как их число превышает размерность пространства. Поэтому найдутся такие числа что

При этом 0, так как в противном случае векторы были бы линейно зависимыми. Следовательно, вектор X может быть представлен в виде линейной комбинации векторов

Положим теперь

Тогда вектор представится в виде

Докажем единственность такого разложения. Предположим, что возможно другое разложение вектора х по векторам

Тогда

и

Но так как векторы линейно независимы, то

Мы доказали тем самым, что любой вектор X может быть, и притом единственным образом, представлен в виде линейной комбинации линейно независимых векторов Совокупность этих векторов называется базисом -мерного линейного пространства, а числа — координатами вектора х в этолг базисе. Мы доказали также, что любые линейно независимых векторов могут быть приняты за базис пространства.

В частности, на прямой любой вектор X может быть представлен в виде

где — произвольный отличный от нуля вектор этой прямой. На плоскости вектор х может быть представлен в виде

где — любые два неколлипеарных вектора этой плоскости. И, наконец, в пространстве любой вектор х может быть представлен в виде

где — любые три некомпланарных вектора пространства.

Разложение (1) более кратко может быть записано в виде

Однако и такая запись часто оказывается не очень удобной и ее упрощают, отбрасывая знак суммы, т. е. пишут

полагая, что по индексу повторяющемуся дважды, производится суммирование от 1 до Это правило называется «соглашением о суммировании»; оно было предложено А. Эйнштейном. Индекс называется индексом суммирования. Он может быть заменен любой другой буквой, так что

Теперь ясно, что при заданном базисе векторы пространств вполне определяются своими координатами. Следовательно, эти пространства могут быть рассмотрены как частные виды пространства при .

Все последующее изложение будем вести, ограничиваясь для наглядности лишь случаем плоскости или обычного трехмерного пространства. Поэтому во всех дальнейших формулах или 3 и индексы суммирования пробегают соответственно значения 1 и 2 или 1, 2 и 3. Однако большая часть содержания этой книги остается справедливой и для общего линейного пространства измерений.

Напомним еще следующие хорошо известные свойства координат векторов:

а) Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты.

б) При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

в) При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)