§ 7. Примеры

Рассмотрим несколько примеров исследования общего уравнения поверхности второго порядка.

1. Определить вид поверхности второго порядка и ее расположение, если в некоторой прямоугольной системе координат она имеет уравнение

Решение. Имеем отсюда уже следует, что это поверхность I типа и поэтому она имеет единственный центр. Далее находим Поэтому Следовательно, рассматриваемая поверхность представляет собой двуполостпый гиперболоид (см. таблицу, стр. 197).

Находим еще ее инвариант Характеристическое уравнение

соответствующее этой поверхности, имеет корни Следовательно, ее простейшее уравнение запишется в виде

а каноническое уравнение —

Координаты центра рассматриваемой поверхности находим из системы уравнений

которая дает т. е. центром поверхности будет точка .

Определим теперь векторы направленные вдоль главных осей рассматриваемой поверхности. Координаты вектора являются нормированными решениями системы

откуда Аналогично находим

2. Определить вид поверхности второго порядка и ее расположение, если в некоторой прямоугольной системе координат она имеет уравнение

Решение. Находим

Следовательно, поверхность представляет собой эллиптический параболоид (см. таблицу, стр. 197). Далее имеем

Поэтому простейшее уравнение поверхности выглядит так;

а ее каноническое уравнение запишется в виде

т. е. для этой поверхности

Вектор соответствующий собственному значению направленный в сторону вогнутости по оси параболоида, определим из системы

которая дает Аналогично находим векторы которые параллельны главным осям эллипсов, получающихся в сечении эллиптического параболоида плоскостями, перпендикулярными его осям:

Для определения вершины параболоида рассмотрим плоскость перпендикулярную оси параболоида. Эта плоскость пройдет через вершину тогда и только тогда, когда она будет иметь с параболоидом только одну общую точку. Уравнения сечения параболоида указанной плоскостью имеют вид

Так как эта линия распадается на две мнимые пересекающиеся прямые, то (см. § 5, стр. 200)

или откуда

Координаты вершины определим как координаты центра кривой

откуда а из системы находим, что Таким образом, вершиной параболоида служит точка

3. Определить вид и расположение поверхности второго порядка, которая в некотором прямоугольном базисе имеет уравнение

Решение. Имеем

Следовательно, поверхность представляет гиперболический цилиндр (см. таблицу, стр. 197). Далее находим

Простейшее уравнение поверхности имеет вид

а каноническое уравнение — вид

Ось цилиндра найдем, определив его прямую центров из системы

Два первых уравнения этой системы независимы, они и являются уравнениями оси цилиндра. Направляющим единичным

вектором служит вектор

В качестве точки О может быть взята любая точка этой оси. Векторы находим как собственные векторы, соответствующие собственным значениям

Эти векторы параллельны действительной и мнимой оси гиперболы, которая служит направляющей гиперболического цилиндра.

4. Определить вид и расположение поверхности второго порядка, которая в некотором прямоугольном базисе имеет уравнение

Решение. Находим

Согласно таблице (стр. 198) рассматриваемая поверхность представляет собой параболический цилиндр. Его простейшее уравнение имеет вид

а каноническое — вид

т. е. для этой поверхности . Чтобы определить расположение этого цилиндра, найдем главные направления

квадратичной формы, стоящей в лепой части его уравнения. Ее характеристическое уравнение имеет вид

откуда Система уравнений для определения главных направлений этой формы записывается так:

Для получим отсюда одно урапнепие:

Следовательно, векторы и лежат в плоскости, определяемой этим уравнением. Вектор перпендикулярен указанной плоскости и потому имеет вид

В качестве вектора можно взять вектор

Тогда Координаты будут связаны формулами:

После перехода к координатам уравнение цилиндра принимает вид

Это уравнение можно переписать так:

Теперь делаем параллельный перенос вдоль оси, определяемый формулой

и поворот в плоскости определяемый формулами

После этих преобразований уравнение цилиндра записывается в каноническом виде:

Координаты выражаются через исходные координаты по формулам

Поэтому уравнение плоскости симметрии цилиндра, которое в новых координатах имеет пил исходных координатах выглядит так: Плоскость касается параболического цилиндра вдоль той его образующей, по которой он пересекается с плоскостью симметрии. Её уравнение в исходной системе координат записывается в виде Плоскость будет перпендикулярна образующей. Ее первоначальное уравнение: Точка О лежит на пересечении этих трех плоскостей. Ее координаты по отношению к исходной системе: Вектор направлен вдоль образующей цилиндра, вектор -перпендикулярно плоскости симметрии, и вектор в плоскости симметрии перпендикулярно образующей.

5. Определить вид и расположение поверхности, заданной в некотором прямоугольном базисе уравнением

Решение. Имеем

Следовательно, мы получаем пару параллельных плоскостей, каноническое уравнение которых

Чтобы найти уравнение этих плоскостей в исходной системе координат, заметим, что квадратичная форма, содержащаяся в левой части исходного уравнения, представляет собой полный квадрат, и уравнение может быть переписано в виде

Выделяя в левой части этого уравнения полный квадрат, получим

Левая часть уравнения раскладывается на два сомножителя:

Поэтому уравнения пары параллельных плоскостей, определяемых заданным уравнением второго порядка, в исходной системе координат записываются в виде

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)