§ 3. Многочлены от матриц и теорема Гамильтона—Кэли

1. В гл. III было показано, как складываются, умножаются на число и друг на друга линейные преобразования плоскости и пространства и соответствующие им квадратные матрицы второго и третьего порядка. В частности, там рассматривалась операция возведения в целую степень линейного преобразования А и соответствующей ему матрицы А.

Пусть теперь

— некоторый многочлен переменной величины X. Выражение

где Е — тождественное и А — произвольное лилейное преобразование, называется многочленом от преобразования А. Многочлен будет некоторым новым линейным преобразованием, построенным при помощи преобразования А. Если А — матрица линейного преобразования А и некотором базисе, то матрицей преобразования будет многочлен

где Е — единичная матрица. Действительно, преобразование получается из А при помощи операций умножения на число и сложения. Но этим операциям над линейными преобразованиями соответствуют такие же операции над матрицами.

Все правила действий, которые имеют место для многочленов от одной переменной величины, остаются справедливыми и для многочленов линейных преобразований. Например, остаются справедливыми формулы

и т. д. Аналогичные формулы будут справедливы и для матриц. Линейные преобразования и представляющие собой многочлены от одного и того же линейного преобразования А, будут всегда перестановочны:

2. Линейное преобразование А называется корнем много, члена Р (X), если при подстановке его в этот многочлен получается нулевое преобразование, т. е. если

Пусть теперь характеристический многочлен линейного преобразования А, т. е.

где — инварианты этого линейного преобразования. Докажем следующую интересную теорему, которая носит название теоремы Гамильтона-Кэли.

Теорема. Линейное преобразование А является корнем своего характеристического многочлена, т. е.

Мы докажем эту теорему только для случая, когда характеристический многочлен линейного преобразования А пространства имеет три различных действительных корня. Но теорема остается справедливой при любом строении характеристического многочлена Р (X).

Итак, пусть - три различных действительных корня многочлена Тогда этот многочлен может быть представлен в виде

В таком случае

причем произведение, стоящее в правой части, не зависит от порядка сомножителей.

Чтобы доказать, что надо доказать, что линейное преобразование любой вектор х переводит в нулевой вектор, т. е.

Пусть собственные векторы линейного преобразования А, так что

Поскольку то векторы линейно независимы, и любой вектор х пространства может быть представлен в виде их линейной комбинации:

Тогда

Но

Аналогично можно доказать, что

Поэтому

что и доказывает наше утверждение,

3. Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, что матрицы линейно зависимы, ибо

Отсюда вытекает также, что любые четыре подряд идущие матрицы последовательности матриц также линейно зависимы. Для доказательства надо равенство (1) умножить на А.

Теорема Гамильтона—Кэли позволяет дать новый способ для вычисления обратной матрицы невырожденной матрицы А. В самом деле, умножив равенство (1) на А 1, получим

Но поскольку мы рассматриваем невырожденную матрицу А. Поэтому

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)