ГЛАВА XIV. ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 1. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

1. Пусть дано линейное преобразование

Вектор называется собственным вектором этого линейного преобразования, если

где X — некоторое действительное число; число X называется собственным значением вектора

Это определение означает, что собственный вектор х при преобразовании А переходит в коллинеарный вектор, причем собственное значение равно отношению этих коллинеарных векторов (коэффициенту «растяжения» собственного вектора в результате преобразования А).

Очевидно, что если — собственный вектор преобразования А, то и любой коллинеарный ему вектор любое действительное число, отличное от нуля) также будет собственным вектором преобразования А с тем же собственным значением, что и Действительно, в силу линейности преобразования А имеем

Отметим, что равенство (1) может бьпь записано также в виде

Все сказанное в равной степени относится к пространствам и вообще к любому линейному пространству

Для иллюстрации введенных понятий собственного вектора и собственного значения рассмотрим линейные преобразования, фигурировавшие в примерах §§ 1, 2 гл. III.

а) Для гомотетии пространств 1.3 (или ) любой вектор будет собственным с собственным значением X. Аналогичное утверждение, конечно, имеет место и для тождественного преобразования Е, являющегося частным случаем гомотетии и для отражения от точки см. упр. 2а) на

б) Для геометрического растяжения плоскости в направлении некгора е.,

собственными векторами будут векторы, лежащие на осях (напомним, что рассматриваются векторы с началом в . Очевидно, что для собственных векторов, лежащих на оси собственное значение равно 1, а для собственных векторов, лежащих на оси собственное значение равно X. В частности, те же векторы будут собственными при проектировании плоскости на ось причем векторы, лежащие на оси будут переходить при проектировании в нулевой вектор 0 (который коллипеарен любому векгору!).

в) Поворот плоскости на угол а, отличный от 0° и 180°, очевидно, действительных собственных векторов не имеет. Если же или то получим тождественное преобразование или отражение от точки, для которых любой вектор — собственный. В отличие от этого поворот пространства имеет едипстненное действительное собственное направление, совпадающее с направлением оси вращения (см. упр. 2в) к этому параграфу).

г) Для сдвига

плоскости в направлении вектора собственными векторами, отвечающими собственному значению 1, очевидно, будут векгоры, лежащие на оси

д) Собственными векторами преобразования

представляющего собой пространстве совокупность трех растяжений пдоль взаимно перпендикулярных осей служат векторы, лежащие на этих осях, поскольку

Им отвечают собственные значения

Аналогично на плоскости собственными векторами преобразования

служат векторы, лежащие на осях Соответствующими собственными значениями этих векторов являются числа

2. Перейдем теперь к вопросу об отыскании собственных векторов и собственных значений данного линейного преобразования А в пространстве Мы знаем (гл. III, стр. 90), что если задан какой-нибудь ортопормированный базис то с преобразованием А связывается матрица

— матрица преобразования А в базисе Если вектор х, координаты которого в базисе равны есть собственный вектор преобразования А с собственным значением X, то, записав равенство (1) в координатной форме, получим

или, в сокращенной записи,

Перепишем равенства (2) в виде

или, в сокращенных обозначениях, в виде

Система (3) представляет собой систему трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными Поскольку по предположению она имеет ненулевое решение, которое составляют координаты ненулевого собственного вектора х, то определитель этой системы должен быть равен нулю:

или, кратко,

где — единичная матрица.

Тем самым мы доказали, что всякое собственное значение линейного преобразования А удовлетворяет уравнению (4).

Обратно, пусть -действительный корень уравнения (4). Тогда, если подставить в систему (3) вместо X, то полученная система будет иметь ненулевое решение поскольку ее определитель равен пулю. Для вектора с координатами будут выполняться равенства (2), и, следовательно, для этого вектора и числа имеет место соотношение

Поэтому будет собственным вектором преобразования А, соответствующим собственному значению

Итак, для нахождения собственных векторов преобразования А надо решить уравнение (4); каждый действительный корень этого уравнения является собственным значением преобразования А, а координаты соответствующих этому значению собственных векторов определяются из системы (3).

Уравнение (4) называется характеристическим (или вековым) уравнением преобразования А.

До сих пор мы рассматривали только действительные скалярные величины и векторы только с действительными координатами. Но в математике рассматривают также векторные пространства над множеством комплексных чисел, допуская в качестве скаляров и в качестве координат вектора

комплексные числа. Если при изучении линейных преобразований встать на эту точку зрения, то можно допускать существование комплексных собственных значений и собственных векторов с комплексными координатами.

Предположим теперь, что матрица линейного преобразования имеет действительные компоненты. Тогда характеристическое уравнение (4) этого линейного преобразования является уравнением третьей степени с действительными коэффициентами. Из алгебры известно, что такое уравнение имеет либо три действительных корня, либо один действительный и два комплексно сопряженных корпя. Легко видеть, что комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные собственные векторы линейного преобразования А.

3. Развернем определитель, стоящий в левой части характеристического уравнения. Тогда характеристическое уравнение примет вид

где

Многочлен, стоящий в левой части Характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом матрицы А. Как мы видим, для пространства этот многочлен имеет третью степень.

Поскольку собственные значения преобразования А определены независимо выбора базиса, то действительные корни характеристического уравнения также не зависят от выбора базиса.

Покажем, что и сам характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. В самом деле, характеристический многочлен есть определитель матрицы А. При преобразовании прямоугольного базиса (гл. III, стр. 116) матрица А

переходит в матрицу определяемую но формуле

где Г — ортогональная матрица перехода от старого базиса к новому. Заметим также, что Поэтому

Отсюда на основании теоремы об определителе произведения матрицы (§ 5 гл. 111, стр. 114) вытекает, что

Но как произведение определителей обратных матриц. Поэтому

Утверждение доказано. Поэтому можно теперь называть характеристический многочлен матрицы А характеристическим многочленом преобразования А.

Из доказанной инвариантности характеристического многочлена следует инвариантность его коэффициентов

Таким образом, матрица линейного преобразования в пространстве имеет три инварианта. Заметим, что инвариантность величин — следа матрицы А и — определителя матрицы была доказана нами ранее (§ 4 гл. II, стр. 68 и § 5 гл. III, стр, 1 16).

4. Пусть теперь

— линейное преобразование на плоскости а

— его матрица в некотором ортонормированном базисе Аналогично предыдущему можно показать, что собственные значения преобразования А определяются из характеристического уравнения

а собственные векторы — из системы

куда вместо X надо подставить решения характеристического уравнения.

Многочлен

стоящий в левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом преобразования А. Его коэффициенты

не зависят от выбора базиса.

Рассмотрим еще раз примеры а) и г) этого параграфа и подтвердим аналитически указанные там результаты о собственных векторах.

в) Повороту плоскости на угол а соответствует матрица

(гл. III, стр. 93). Составим характеристическое уравнение для этого преобразования:

откуда

Дискриминант этого квадратного уравнения, ранный для значений а, заключенных от 0° до 180°, отрицателен. Поэтому поворот на угол а, отличный от 0° до 180°, не имеет действительных собственных значений, а следовательно, и действительных собственных векторов. Но легко видеть, что рассматриваемое преобразование имеет комплексно сопряженные собственные значения:

Соответствующие им собственные векторы находим из систем

Так как , то получим

полагая здесь найдем собственные векторы Они имеют комплексно сопряженные координаты. Заметим, что имеют нулевую длину. Векторы, имеющие нулевую длину, называются изотропными векторами. Таким образом, мы доказали, что собственными векторами поворота являются изотропные векторы.

г) Сдвигу плоскости в направлении вектора отвечает матрица

(пример ж) на стр. 93). Характеристическое уравнение для сдвига имеет вид

или

откуда следует, что Соответствующий собственный вектор определяем из системы

которая дает т. е. собственными векторами, соответствующими единственному собственному значению 1, будут векторы, расположенные на оси

В заключение рассмотрим два числовых примера.

е) Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, имеющею в ортогональном базисе вид

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

откуда находим собственные значения

Для значения собственный вектор находим из системы

откуда

Аналогично для имеем

откуда

Таким образом, собственными векторами будут векторы

и все коллинеариые им векторы.

ж) Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования, которое в ортогональном базисе имеет вид

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

Корни этого уравнения: Собственный вектор, соответствующий единственному действительному значению находим из системы

Последнее уравнение этой системы лает а из первых двух случаем

Таким образом, данное линейное преобразование имеет только один действительный собственный вектор

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)