§ 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

1. Как было показано в § 4 гл. 111, между квадратичными формами и симметричными линейными преобразованиями существует взаимно однозначное соответствие. Выясним, как, используя это соответствие и возможность приведения матрицы симметричного линейного преобразования к диагональному виду, можно упростить квадратичную форму

Рассмотрим квадратичную форму Приведем соответствующее ей симметричное линейное преобразование к простейшему виду. Для этого перейдем к базису состоящему из трех попарно ортогональных единичных собственных векторов. В гаком базисе, как мы знаем из § 4, матрица преобразования станет диагональной:

здесь — собственные значения, соответствующие векторам базиса

Что касается формы то она в новом базисе примет вид

здесь — координаты векторов в базисе

Таким образом, всякая квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов (или, как еще говорят,

к каноническому виду) с помощью перехода к ортонормированному базису, состоящему из единичных собственных векторов симметричного линейного преобразования А, соответствующего форме

Направления называются главными направлениями формы соответсгнующими собственным значениям

Из результатов § 4 получаем:

если то форма имеет точно три главных направления;

если то форма имеет одно главное направление, соответствующее и бесчисленное множество главных направлений, ему перпендикулярных; наконец,

если то любое направление в пространстве — главное Для формы

Аналогичные результаты можно получить для формы от двух переменных

2. Рассмотрим дна примера.

а) Привести к каноническому ниду квадратичную форму

Решение. Соответствующее этой форме симметричное линейное преобразование имеет матрицу

Эта матрица совпадает с матрицей линейного преобразования, рассмотренной в примере а) § 5 (стр. 160). Там мы получили Поэтому, перейдя к базису найденному в указанном примере, мы приведем форму к сумме квадратов:

б) Привести к каноническому виду форму

Решение. Матрица А линейного преобразования А, соответствующего этой форме, имеет вид

она совпадает с матрицей преобразования, рассмотренного нами в примере б) § 5 (стр. 161).

Поскольку мы имели то, перейдя к найденному в указанном примере базису получим канонический вид формы

3. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого вектора она принимает только положительные (отрицательные) значения.

Поскольку указанное свойство должно иметь место в любом базисе, то оно, в частности, должно иметь место и в том базисе в котором эта форма имеет канонический вид (1). Но легко видеть, что для того, чтобы выражение (1) при любых было положительным (отрицательным), необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения были положительными (отрицательными).

Однако важно получить условие, которое даст нам возможность выяснить, будет ли положительно или отрицательно определенной квадратичная форма заданная в произвольном ортонормированном базисе Пусть — матрица этой квадратичной формы в рассматриваемом базисе. Назовем ее главными минорами величины

Условие положительной определенности формы которое называется критерием Сильвестра, может быть теперь сформулировано следующим образом.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры в некотором базисе были положительными.

Докажем сначала эту теорему для случая, когда квадратичная форма задана на плоскости Форма записывается в виде

Введем новое вспомогательное переменное Тогда форма может быть переписана так:

Главный минор квадратичной формы лишь знаком отличается от дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего в скобках. Если то и этот квадратный трехчлен не меняет знака при изменении параметра Если то этот трехчлен будет положительным при любых значениях параметра Следонательно, при квадратичная форма на плоскости убудет положительно определенной формой. Легко видеть, что и, обратно, если то . В самом деле, положим Тогда

и так как

Перейдем теперь к доказательству критерия Сильвестра в трехмерном случае. При этом форма и базисе может быть подробно записана так:

Если же перейдем к базису составленному из векторов, направленных по главным направлениям этой формы, то она примет канонический вид:

Так как главный минор совпадает с инвариантом этой формы, то (см. упр. 6 на стр. 144).

Предположим теперь, что форма со положительно определена. Тогда и потому Чтобы доказать положительность миноров достаточно рассмотреть форму на плоскости и воспользоваться доказанным выше критерием Сильвестра для случая

Обратно, пусть все главные миноры формы положительны. Тогда

и оказываются позможными два случая: либо все три собственных значения А; положительны, либо одно из. них положительно, а два других отрицательны. В первом случае квадратичная форма будет положительно определенной, и обратное утверждение доказано.

Пусть теперь одно из чисел А; положительно, а два других отрицательны, например: Тогда плоскости форма отрицательно определена. Но, с Другой стороны, на плоскости форма равна

и, в силу положительности первых двух главных миноров, она положительно определена на этой плоскости. Отсюда следует, что на прямой, по которой пересекаются плоскости форма будет одновременно положительно и отрицательно определенной. Полученное противоречие показывает, что все А; должны быть положительными. Тем самым обратное утверждение также доказано.

Замечая, что условие отрицательной определенности квадратичной формы будет в то же время условием положительной определенности формы

получаем необходимые и достаточные условия отрицательной определенности квадратичной формы в виде

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)