§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов

1. Векторным произведением векторов называется третий вектор удовлетворяющий следующим требованиям:

1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах где — угол между векторами х и у;

2) вектор ортогонален каждому из векторов

3) вектор образует с векторами х и у правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов х и у обычно обозначается через

Оно обладает следующими свойствами:

Найдем теперь таблицу векторных произведений векторов ортонормироваппого базиса пространства Эта таблица будет по-разному записываться для правого и левого базисов:

В этих таблицах векторы, стоящие слева, считаются первыми, а векторы, стоящие сверху, — вторыми сомножителями векторного произведения.

Чтобы записать векторные произведения базисных векторов в одной форме для любого ортонормированного базиса, введем величину которая равна если базис

правый, если этот базис левый; таким образом, эта величина зависит от выбора базиса. Затем введем величины определяемые равенствами

и равные нулю, если какие-нибудь два из индексов равны между собой. Эти величины также зависят от выбора базиса. Их называют кососимметричными символами Кронекера.

При помощи величин векторные произведения базисных векторов всегда, при любой ориентации базиса, могут быть записаны в виде

где в правой части, как обычно, производится суммирование по индексу Эти формулы легко доказываются простой проверкой, например:

Но первые два члена этой суммы равны нулю, поэтому

Отсюда для правой системы мы получим

а для левой

что соответствует нашим таблицам.

Пусть и — два произвольных вектора. Тогда

Пользуясь вторым и третьим свойствами векторного произведения, мы получим отсюда

где в правой части суммирование происходит по всем трем индексам Подробно правая часть этого равенства, если

отбросить равные нулю слагаемые, может быть записана в виде

или, как обычно, в виде определителя третьего порядка:

Если обозначить векторное произведение через то координаты вектора запишутся следующим образом:

(так как ), или более подробно:

При эти формулы совпадают с хорошо известными из аналитической геометрии (где рассматривались лишь правые базисы) формулами для координат векторного произведения.

Заметим, что введенное нами определение векторного произведения несколько отличается от определения этого понятия, принятого во многих книгах по аналитической геометрии и векторному исчислению (см., например, [10], стр. 44). Это отличие состоит в том, что в пашем определении векторное произведение не зависит от ориентации системы координат, а в упомянутых книгах оно меняет знак при изменении этой ориентации. Поэтому там векторное произведение не является обычным вектором, а является так называемым аксиальным вектором. У нас же векторное произведение определено однозначно, независимо от выбора базиса, и поэтому оно является обычным вектором. Тем самым мы избавляемся от необходимости рассмотрения аксиальных векторов.

2. Смешанное произведение векторов определяется формулой

и равно объему параллелепипеда, построенного на векторах взятому со знаком плюс, если векторы образуют правую тройку, и со знаком минус в противном случае.

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Легко проверить, что для смешанных произведений базисных векторов имеют место формулы

В самом деле,

В правой части этого равенства производится суммирование по индексу I. Но скалярное произведение будет отлично от нуля только тогда, когда Поэтому в рассматриваемой сумме останется только один отличный от нуля член так как то мы и получим доказываемую формулу.

Пусть теперь даны три произвольных вектора Их смешанное произведение запишется в виде

Пользуясь третьим и четвертым свойствами смешанного произведения, мы можем раскрыть скобки, стоящие в правой части этого равенства. Тогда мы получим

где индексы независимо друг от друга принимают значения 1, 2, 3 и по ним производится суммирование. Следовательно, в правой части этого равенства стоит сумма, содержащая слагаемых. Но из этих слагаемых только в будут отличными от нуля, так как в остальных слагаемых у величин будут повторяющиеся индексы. Поэтому в подробной записи предыдущая сумма

примет вид

Это выражение может быть обычным образом записано в виде определителя третьего порядка:

3. Рассмотрим двойное векторное произведение х трех векторов х, у и и докажем, что имеет место соотношение

Если векторы у и коллинеарны, то легко проверить, что как левая, так и правая часть равенства (1) будет равна нулю. Предположим теперь, что у и не коллинеарны, и пусть Вектор и ортогонален вектору и поэтому лежит в плоскости определяемой векторами у и т. е.

Обозначим через вектор, лежащий в плоскости и получающийся из поворотом на 90° по часовой стрелке, если смотреть из конца вектора Векторы и образуют правую ортогональную тройку векторов. Теперь

С другой стороны,

Положим Тогда вектор имеет то же направление, что и вектор , так как векторы и ортогональны, откуда

(здесь обозначает угол между у и ). Поэтому

Теперь

и, сравнивая это соотношение с равенством (3), мы получаем

Но если умножить соотношение (2) скалярно на вектор мы получим, что

откуда Это завершает доказательство формулы (1).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)