§ 2. Некоторые свойства кристаллов, связанные с тензорами второй валентности

1. Тензорное исчисление оказывается очень полезным при изучении свойств кристаллов. Это объясняется тем, что при описании многих явлений, таких, например, как электропроводность, теплопроводность, упругость, кристалл можно рассматривать как однородную сплошную среду, физические свойства которой во всех ее точках одинаковы. Физические свойства кристаллов определяют соотношения между физическими величинами, связанными с кристаллом или воздействующими на него. Естественно считать, что эти физические величины также являются однородными. Например, если изучают тепловые свойства кристалла, то считают, что температура (или градиент температуры) кристалла во всех его точках постоянна; при изучении его электрических свойств считают постоянной напряженность электрического поля; при изучении магнитных свойств — напряженность магнитного поля и т. д.

Различают два типа физических свойств кристалла. Физические свойства, относящиеся к первому типу, не зависят от направления в кристалле. К таким свойствам относятся, например, плотность и теплоемкость кристалла. В силу однородности кристалла эти свойства описываются постоянными скалярными величинами. Плотность, например, характеризует

связь между массой и объемом. И так как масса и объем не зависят от направления, то и плотность обладает этим свойством.

Физические свойства второго типа зависят от направления в кристалле. К таким свойствам относится, например, удельная электропроводность, связывающая напряженность электрического поля и плотность тока в кристалле. Говорят, что кристалл анизотропен по отношению к таким свойствам. Эта анизотропность кристалла по отношению к некоторым его свойствам связана с особенностями его молекулярного строения.

Свойства кристалла, зависящие от направления, могут быть описаны тензорами, если физические величины, воздействующие на кристалл, считать малыми. Покажем это на примере удельной электропроводности кристалла. Пусть — напряженность электрического тока и -плотность тока в кристалле, постоянные во всех его точках. Тогда является функцией от Е:

Если координаты векторов и по отношению к ортонормированному базису обозначить, через то это соотношение может быть переписано в виде

где — функции, зависящие от трех аргументов которые можно считать непрерывными и дифференцируемыми функциями. Последнее обстоятельство вытекает из физического смысла функций Далим вектору Е приращение одинаковое во всех точках кристалла, тогда вектор получит приращение также одинаковое во всех точках кристалла. Поскольку функции дифференцируемы, это приращение может быть записано в виде

где величины стремятся к нулю при Считая величины малыми, можно второе слагаемое этой суммы отбросить и написать

Гак как координаты векторов, то частные производные представляют собой компоненты тензора второй валентности:

Тензор называют тензором удельной электропроводности. Таким образом,

При этом значения компонент тензора зависят от исходного значения вектора напряженности, Полагая можно записать предыдущее соотношение в виде

где теперь уже сами векторы считаются достаточно малыми.

Если обозначить через а линейное преобразование, соответствующее тензору то соотношение (1) может быть переписано в виде

где а зависит от начального значения вектора напряженности ?. В частности, полагая получим

для малых Е и Эти соотношения представляют собой обобщенный закон Ома.

В некоторых случаях зависимость между физическими величинами оказывается линейной не только для малых, но и для любых их значений. Такие зависимости описываются тензорами, не зависящими от начальных значений этих величин.

Но может оказаться, что некоторое свойство кристалла, которое, вообще говоря, является свойством второго типа, для некоторого конкретного кристалла будет одинаковым во всех его направлениях. Такой кристалл называют изотропным по отношению к этому свойству. Например, если кристалл обладает одинаковой электропроводностью во

всех направлениях, то говорят, что он изотропен по отношению к этому свойству. Закон Ома в этом случае принимает вид

и тензор удельной электропроводности становится шаровым тензором:

Скаляр о будет удельной, электропроводностью кристалла, одинаковой по всех направлениях.

2. Рассмотрим еще одно свойство кристаллов, по отношению к которому они могут быть анизотропными, а именно рассмотрим теплопроводность кристалла. Обозначим через вектор потока тепла, равный количеству тепла, протекающему через единичную площадку, перпендикулярную этому вектору, в единицу времени. Если кристалл изотропен по отношению к теплопроводности, то

где вектор показывает скорость изменения температуры в кристалле. Этот вектор будем считать одинаковым во всех точках кристалла. Коэффициент называется коэффициентом теплопроводности кристалла.

Если кристалл анизотропен по отношению к теплопроводности, то вектор Н, вообще говоря, не будет параллелен вектору . Обозначая его координаты через запишем зависимость между этими векторами (для малых значений в виде

где — тензор теплопроводности кристалла. Экспериментальное исследование показывает, что тензор является симметричным тензором: Из физических соображений ясно, что — невырожденный тензор (вырождение этого тензора означало бы, что по некоторому направлению кристалл вовсе не проводит тепла). Тензор обратный тензору называют тензором теплового сопротивления. Разрешив уравнения относительно компонент ,

получим

Из симметрии тензора следует симметрия тензора

Тензор как всякий симметричный тензор, может быть приведен ортогональным преобразованием к диагональному виду:

Собственные значения этого тензора называются главными коэффициентами теплопроводности кристалла, а его собственные направления — главными направлениями тензора теплопроводности. Из физических соображений ясно, что Одновременно с тензором к диагональному виду приведется и тензор и его собственные значения -связаны с главными коэффициентами теплопроводности соотношениями (упр. 8, стр. 144)

Рис. 14.

Уравнение характеристической поверхности тензора записывается в виде

а после приведения к главным осям — в виде

Так как то эта поверхность является трехосным эллипсоидом, который называется эллипсоидом теплопроводности кристалла.

Рассмотрим несколько задач, связанных с распространением тепла в кристаллах.

а) Пусть поверхности плоскопараллельной кристаллической пластинки находятся в контакте с двумя хорошими проводниками тепла, имеющими разную температуру (рис. 14).

Предположим, что длина и ширина пластинки значительно больше ее толшины. Тогда поверхности уровня температуры Т пластинки будут параллельны ее граничным плоскостям, а вектор будет направлен перпендикулярно им. Если вектор направить перпендикулярно поверхности пластинки, а векторы параллельно ей, то

Вектор потока тепла определится так:

б) Рассмотрим теперь распространение тепла вдоль длинного стержня. В этом случае вектор потока тепла должен быть направлен вдоль оси стержня. Следовательно, изотермические плоскости будут наклонены к оси стержня. Так как теперь то вектор может быть вычислен по формуле

в) Рассмотрим в заключение задачу о распространении тепла, создаваемого точечным источником в бесконечно большом кристалле. Здесь нам придется отступить от предположения об однородности физической величины, воздействующей на кристалл, так как в рассматриваемом случае поле градиента температуры не будет однородным. Уравнение теплопроводности в кристалле, имеющем плотность и удельную теплоемкость с, имеет вид (см. [7], стр. 794)

Мы рассматриваем случай установившегося распределения температуры, в силу чего Тогда уравнение теплопроводности примет вид

или, в координатной форме,

Но в анизотропном кристалле кектор потока тепла связан с градиентом температуры Т уравнениями (2). Подставляя выражения для компонент вектора в последнее уравнение, получим

так как компоненты тензора можно считать постоянными.

Чтобы решить уравнение (3), перейдем к той системе координат, в которой тензор приводится к диагональному виду. В этом случае уравнение (3) запишется так:

Сделаем в этом уравнении замену переменных, полагая

Тогда

(где по индексу I суммирования нет) и уравнение примет вид

Это уравнение представляет собой уравнение Лапласа, и его решение при наличии единственного точечного источника тепла, расположенного в начале координат, записывается так (см. [1], стр. 232):

где — постоянная температура вдали от источника. Константа А связана с производительностью источника тепла. Если перейти обратно к переменным то это выражение можег быть записано следующим образом:

Так как , то

или, если перейти к произвольной системе координат,

Отсюда ясно, что изотермические поверхности в кристалле определяются уравнением

Эти поверхности будут эллипсоидами, подобными характеристическому эллипсоиду тензора теплового сопротивления. Вектор будет направлен из точки О в точку М изотермической поверхности, а вектор будет ортогонален ей в этой точке.

3. Рассмотрим один эффект, который описывается тензором второй валентности, — электрическую поляризацию кристалла. Если кристалл диэлектрика находится в однородном электрическом ноле напряженности Е, его молекулы, представляющие собой диполи, стремятся повернуться определенным образом по отношению к направлению вектора Е. Электрический момент единицы объема такого кристалла называется поляризацией диэлектрика и обозначается буквой Р. Если диэлектрик изотропен, то вектор Р имеет то же направление, что и нектор Е, и уравнение, связывающее эти два вектора, имеет вид

где а — коэффициент, характеризующий поляризуемость диэлектрика. Если диэлектрик анизотропен, то уравнение, связывающее векторы записывается в ниде

где поляризуемости диэлектрика.

Наряду с вектором поляризации Р диэлектрика рассматривают вектор его электрической индукции, который

определяется формулой (см. [17], стр. 108)

Если обозначить координаты вектора через то мы получим для них выражение

Тензор называется тензором диэлектрической проницаемости диэлектрика. Можно доказать, что тензор акак и тензор является симметричным тензором. Главные значения тензора называются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла.

Совершенно аналогично описывается магнитная восприимчивость в пара- и диамагнитных кристаллах. Если кристалл помещен в однородное магнитное поле, напряженность которого ранна Н, то он намагничивается. Интенсивность его намагничивания характеризуется нектором который равен средней плотности магнитного момента молекулярных токов. Для изотропной парамагнитной и диамагнитной среды имеет место соотношение

где х — коэффициент магнитной восприимчивости. Для парамагнитных кристаллов а для диамагнитных Если кристалл анизотропен, то соотношение между векторами Н и описывается симметричным тензором который называется тензором магнитной восприимчивости. Если то это соотношение принимает вид

Наряду с вектором при изучении явлений магнетизма рассматривается вектор магнитной индукции В, определяемый формулой

Координаты этого вектора связаны с координатами вектора И соотношениями

Тензор носит название тензора магнитной проницаемости. Этот тензор также симметричен. Его главные значения называются главными коэффициентами

магнитной проницаемости. Если то кристалл парамагнитен в соответствующем главном направлении; если то он диамагнитен в этом направлении.

4. Одним из основных свойств кристаллов является наличие у них определенной симметрии. Кристалл оказывается инвариантным относительно конечного числа ортогональных точечных преобразований, образующих группу. Она называется группой точечных преобразований кристалла. По наличию тех или иных видов симметрии кристаллы разделяются на 32 кристаллографических класса, описание которых можно найти, например, в книге [13] (стр. 216).

Все физические свойства кристаллов оказываются связанными с их симметрией. А именно, элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии его точечной группы преобразований. Это утверждение носит название принципа Неймана и играет важную роль в кристаллофизике.

Рассмотрим, как связаны с симметрией кристалла свойства, описываемые симметричными тензорами второй валентности. Напомним сначала, что осью симметрии кристалла порядка называется прямая поворот вокруг которой на угол — совмещает кристалл с его первоначальным положением. Пусть — симметричный тензор, описывающий некоторое свойство кристалла, и - его характеристическая поверхность. Если кристалл имеет ось симметрии порядка то эта ось, согласно принципу Неймана, должна являться осью симметрии такого же порядка и для характеристической поверхности тензора Если прямая является осью симметрии второго порядка, то одна из главных осей характеристической поверхности тензора должна совпадать с прямой I. Если же прямая является осью симметрии порядка то она должна являться осью вращения для характеристической поверхности, так как поверхность второго порядка, не являющаяся поверхностью вращения, не может иметь осей симметрии порядка выше второго. Следовательно, при характеристическая поверхность является поверхностью вращения, а сам этот тензор имеет два одинаковых собственных значения.

Упомянутые выше кристаллографические классы объединяются в системы по количеству и характеру имеющихся

в кристалле осей симметрии. Различают семь кристаллографических систем: кубическую, тригопальную, тетрагональную, гексагональную, ромбическую, моноклинную и триклинную. Посмотрим, какие особенности будет иметь форма и расположение характеристической поверхности симметричного тензора для каждой из этих кристаллографических систем.

Кристаллы кубической системы имеют три оси четвертого порядка. Характеристическая поверхность тензора для тпких кристаллов должна иметь три оси вращения. Но таким спойством обладает только сфера. Поэтому тензор для кристаллов кубической системы лишь множителем отличается от единичного тензора. А это означает, что такие кристаллы изотропны по отношению к свойствам, описываемым симметричными тензорами второй валентности.

Кристаллы тригональной, тетрагональной и гексагональной систем имеют по одной оси соответственно третьего, четвертого и шестого порядка. Для таких кристаллов характеристическая поверхность тензора является поверхностью вращения, ось которой параллельна оси кристалла. Тензор имеет два одинаковых собственных значения.

Кристаллы ромбической системы имеют три взаимно перпендикулярные оси второго порядка. Характеристйческая поверхность тензора может быть произвольной поверхностью второго порядка, главные оси которой параллельны осям кристалла. Тензор может иметь три различных собственных значения.

Кристаллы моноклинной системы имеют одну ось второго порядка. Характеристическая поверхность тензора в таком кристалле может иметь произвольную форму, но одна из ее осей должна быть параллельна оси кристалла.

Наконец, кристаллы триклинной системы не имеют осей симметрии. В гаком кристалле характеристическая поверхность может иметь любую форму и любое расположение.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)