§ 5. Симметричные и антисимметричные тензоры

1. Пусть билинейная форма. Эта форма называется симметричной, если для любых векторов х и у

Тензор валентности два, определяемый симметричной билинейной формой, называется симмепшичным тензором.

Компоненты симметричного тензора валентности два в любом ортонормированном базисе образуют симметричную матрицу, т. е. удовлетворяют условию

Это непосредственно следует из того, что для симметричной билинейной формы в любом базисе

и что

Симметричная матрица подробно может быть записана так:

Отсюда видно, что симметричный тензор второй валентности имеет шесть существенных компонент.

Например, скалярное произведение двух векторов является симметричной билинейной формой, так как Коэффициенты этой билинейной формы, как мы видели, образуют единичный тензор матрица которого является симметричной:

Рассмотрим теперь полилинейную форму степени Форма с называется симметричной по двум каким-либо аргументам, если она не меняет своего значения при перестановке этих аргументов. Тензор, определяемый такой полилинейной формой, называется симметричным по соответствующим индексам.

Например, форма симметрична по аргументам если

Тензор определяемый этой формой, будет симметричным по индексам и и его компоненты в любой системе координат удовлетворяют соотношениям

Полилипейиая форма у степени называется симметричной, если она не меняется при любой перестановке аргументов. Определяемый ею тензор называется симметричным тензором валентности Компоненты симметричного тензора, отличающиеся только порядком индексов, но не их значениями, равны между собой.

Например, трилинейная форма будет симметрична, если для любых трех векторов

компоненты тензора определяемого этой формой, не меняются при любой перестановке индексов.

2. Билинейная форма называется антисимметричной, если для любых векторов х и у

Тензор валентности два, определяемый антисимметричной билинейной формой, называется антисимметричным тензором.

Так как теперь то компоненты янтисимметричного тензора в любом базисе удовлетворяют условию

т. е. образуют кососимметричную матрицу. Эта матрица подробно может быть записана так:

Отсюда ясно, что антисимметричный тензор валентности два имеет всего три существенные компоненты.

Аналогично определяется антисимметричность полилинейной формы степени по двум каким-либо аргументам. Тензор валентности определяемый такой формой, будет антисимметричным тензором по соответствующим индексам.

Полилинейная форма степени называется антисимметричной, если она меняет знак при перестановке любой пары

ее аргументов. Тензор, определяемый этой формой, называется антисимметричным тензором. Такой тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов.

Например, смешанное произведение векторов является антисимметричной трилинейной формой. Тензор определяемый этой формой, будет антисимметричным тензором. Он имеет только одну существенную компоненту

3. Пусть — произвольная билинейная форма. Построим при ее помощи билинейные формы

Легко видеть, что форма будет симметричной, а — антисимметричной формой. В самом деле,

Операции, при помощи которых из билинейной формы о получаются билинейные формы и , называются соответственно симметрированием и альтернированием формы 9.

Форма 9 может быть теперь представлена в виде суммы

Такое представление формы называют ее разложением на симметричную и антисимметричную части.

Посмотрим теперь, как выразятся тензоры, определяемые формами и 9.2, через тензор, определяемый формой Запишем форму 9 в координатной форме:

где координаты векторов х и у соответственно. Тогда формы и примут вид

Но, изменив обозначения индексов суммирования, вторые слагаемые этих выражений можно переписать в виде Поэтому после приведения подобных членов формы запишутся так:

Тензоры, определяемые этими формами, обозначают обычно символами и Первый из этих тензоров будет симметричным, а второй — антисимметричным. Таким образом,

Операции, при помощи которых тензоры и получаются из тензора называются соответственно симметрированием и альтернированием тензора Очевидно, что

Подобным же образом определяются операции симметрирования и альтернирования полилинейных форм но какой-нибудь паре их аргументов и соответствующие операции с определяемыми ими тензорами.

Несколько более сложно определяется полное симметрирование и альтернирование полилинейных форм степени большей чем 2. Пусть, например, - трилинейная форма. Чтобы построить из нее форму, симметричную но всем индексам, следует произвести всевозможные перестановки ее аргументов. Число таких перестановок равно

Поэтому искомая симметричная форма имеет вид

Точно так же форма

являются антисимметричной трилинейной формой. Доказательство симметричности формы и антисимметричности формы предоставляется читателю.

Операции, при помощи которых формы были получены из трилинейной формы называются симметрированием и альтернированием формы

Обозначим через тензор, определяемый трилинейной формой . Тогда тензоры и а, соответствующие формам , будут вычисляться следующим образом:

Операции, при помощи которых тензоры и получаются из тензора называются операциями симметрирования и альтернирования этого тензора.

4. Если в билинейной форме считать то получим скалярную функцию одного векторного аргумента Такая функция называется квадратичной формой.

Таким образом, каждой билинейной форме может быть поставлена в соответствие единственная квадратичная форма Но разным билинейным формам может соответствовать одна и та же квадратичная форма. В самом деле, пусть — произвольная билинейная форма и

— билинейная форма, полученная из нее путем операции симметрирования. Тогда легко видеть, что

т. е. квадратичные формы, отвечающие различным билинейным формам оказываются одинаковыми.

Поэтому всегда можно считать, что квадратичная форма получена из симметричной билинейной формы при Эта симметричная билинейная форма называется полярной билинейной формой для заданной квадратичной формы . Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной. В самом деле,

Но так как , то

Найдем теперь, как запишется квадратичная форма в ортонормированном базисе Пусть -билинейная форма, полярная форме Эта билииейная форма симметрична и, как уже известно, в координатной форме записывается так:

где Поэтому квадратичная форма записывается в виде

Это выражение представляет собой однородный многочлен второй степени относительно координат вектора Коэффициенты образуют симметричный тензор. Подробно квадратичная форма записывается следующим образом:

Обратно, если дан симметричный тензор то он определяет единственную квадратичную форму Поэтому между симметричными тензорами валентности два и квадратичными формами устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Примером квадратичной формы может служить скалярный квадрат вектора Полярной билинейной формой для нее служит скалярное произведение векторов Как мы уже видели, эта билинейная форма является симметричной.

Пусть теперь — трилинейная форма. Полагая и ней получим кубичную форму Так же как это было сделано выше, можно доказать, что между кубичными формами, симметричными трилинейными формами и симметричными тензорами третьей валентности устанавливается взаимно однозначное соответствие. Всякая кубичная форма в координатах может быть записана в виде

где — симметричный тензор. Подробно кубичная форма может быть записана так:

Десять коэффициентов этой формы совпадают с десятью существенными компонентами симметричного тензора

Точно так же строятся формы любой степени связанные с симметричными тензорами валентности

5. Симметричным тензорам можно дать геометрическую характеристику при помощи так называемой характеристической поверхности.

Пусть — симметричный тензор валентности два. Образуем с его помощью квадратичную форму и рассмотрим совокупность векторов х, удовлетворяющих условию

Зафиксируем начало координат в точке О пространства и будем считать, что вектор служит радиусом-вектором точки Тогда геометрическое место точек М, радиусы-векторы которых удовлетворяют уранпению (1), будет представлять собой некоторую поверхность которую называют характеристической поверхностью тензора

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, начало которой расположено в течке О и направления осей которой определяются векторами ортонормированного базиса. В этой системе координат уравнение характеристической поверхности запишется так:

Уравнение (2) показывает (гл. I, стр. 48), что характеристической поверхностью симметричного тензора второй валентности служит центральная поверхность второго порядка, центр симметрии которой совпадает с началом координат О.

Найдем, иапример, характеристическую поверхность единичного тензора Ее уравнение запишется в виде

Расписывая подробно суммирование по индексам I и в левой части этого уравнения, мы получим

Последнее уравнение показывает, что характеристической поверхностью единичного тензора является сфера единичного радиуса.

Пусть, далее, Тогда уравнение характеристической поверхности тензора запишется так:

Легко проверить, что это уравнение может быть записано в виде

Но последнее уравнение распадается на два:

Следовательно, характеристическая поверхность тензора представляет собой пару параллельных плоскостей, симметрично расположенных относительно начала координат.

Рассмотрим снова характеристическую поверхность (1) произвольного симметричного тензора Пусть

— радиус-вектор текущей точки этой поверхности и единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор X, так что

где длина вектора х. Подставим это выражение для вектора х в уравнение характеристической поверхности (1). Тогда в силу линейности формы по каждому аргументу получим

Отсюда следует, что

т. е. значение квадратичной формы о от любого единичного вектора равно единице, деленной на квадрат расстояния от точки О до той точки характеристической поверхности в которой ее пересекает луч, проходящий через точку О и имеющий направление вектора

В частности, если — точка, в которой луч нересекает характеристическую поверхность, и то

Но (здесь но индексам суммирование не производится). Поэтому

Подобным же образом строится характеристическая поверхность симметричного тензора более высокого порядка. Например, для симметричного тензора валентности три характеристическая поверхность имеет уравнение

и является поверхностью третьего порядка. Эта характеристическая поверхность дает возможность геометрически найти значение кубичной формы

от единичного пектора а именно

где х — расстояние от начала координат О до той точки М характеристической поверхности, в которой ее пересекает луч, выходящий из точки О и имеющий направление вектора . В частности,

где — расстояние от точки О до точки М, в которой луч пересекает характеристическую поверхность.

Заметим, что уравнением типа (2) и (3) характеристическую поверхность можно определить не только для симметричных, но и для произвольных тензоров, Но описывать она будет только свойства симметричной части этих тензоров. В самом <деле, если, например, — произвольный тензор второй валентности, то

и уравнение (2) принимает вид

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)