ГЛАВА II. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И ТЕНЗОРЫ

§ 1. Линейные формы

1. В предыдущей главе мы рассмотрели основные операции векторной алгебры. Теперь мы будем изучать простейшие скалярные функции одного или нескольких векторных аргументов.

Говорят, что в линейном пространстве задана скалярная функция векторного аргумента X, если каждому вектору х пространства поставлено в соответствие некоторое число функция называется линейной функцией, или линейной формой, если она обладает следующими двумя свойствами:

Рассмотрим некоторые примеры линейных функций.

а) Обозначим через Пргл: величину проекции вектора х на ось является линейной формой вектора х, так как из аналитической геометрии известно, что

б) Пусть а — постоянный, — переменный векторы пространства Тогда их скалярное произведение является линейной формой вектора х. В самом деле, в силу свойств скалярного произведения векторов (гл. I, стр. 20)

в) Так как координата X; вектора X пространства по отношению к ортонормированному базису может быть представлена в виде (см. стр. 21), то она также является линейной формой вектора х.

г) Пусть — два неколлинеарных вектора пространства Тогда смешанное произведение является линейной формой вектора гак как в силу свойств смешанного произведения (гл. I, § 5, стр. 29)

Найдем теперь выражение линейной формы в ортонормированном базисе Гак как

и функция линейная, то

Обозначим числа буквами

тогда линейная форма запишется в виде

Это выражение представляет собой однородный многочлен первой степени от переменных поэтому-то линейная функция и называется линейной формой. Коэффициенты а; в этом выражении зависят от выбора базиса.

2. Посмотрим, как преобразуются коэффициенты линейной формы при переходе от ортонормированного базиса к новому ортопормированному базису При таком преобразовании

где матрица перехода от старого базиса к новому (гл. I, стр. 33). В новом базисе форма запишется виде

где XV — новые координаты вектора а коэффициенты вычисляются по формулам

Следовательно, коэффициенты линейной формы при переходе от старого базиса к новому изменяются по закону

Но, сравнивая эти формулы с формулами (7) § 6 предыдущей главы, мы видим, что закон изменения коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису в точности совпадает с законом изменения координат вектора. Теперь легко видеть, что

и поэтому коэффициенты линейной формы являются координатами некоторого вектора

Формула (1) показывает, что сама линейная форма всегда может быть записана в виде скалярного произведения векторов

Выясним теперь геометрический смысл вектора а. Для этого рассмотрим поверхности уровня линейной формы Эти поверхности определяются уравнением или

Но это уравнение есть уравнение семейства параллельных плоскостей, для которых вектор а является нормальным вектором. Следовательно, вектор а — это общий нормальный вектор к плоскостям, являющимся поверхностями уровня формы

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)