§ 7. Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве, чтобы, во-первых, напомнить ряд необходимых для дальнейшего сведений и, во-вторых, чтобы записать получающиеся уравнения в сокращенных обозначениях (ибо именно в гаком виде мы будем пользоваться этими формулами в дальнейшем).

Пусть О — фиксированная точка евклидова пространства. Тогда каждой точке М этою пространства может быть поставлен в соответствие вектор радиус-вектор этой точки. Положение точки М вполпе определяется, если задан ее радиус-вектор х (при заданном начале отсчета О). Таким образом, если задано начало отсчета О, то между векторами линейного пространства и точками евклидова пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие. Координаты вектора X по отношению к ортонормиронаиному базису будут координатами точки М по отношению к прямоугольной декартовой системе координат, начало которой расположено в точке О и оси которой направлены по векторам

Однако указанное соответствие между точками пространства и векторами сохраняется только в том случае, если остается неподвижной начальная точка О. Если же мы перейдем от нее к новой начальной точке О, то радиусы

векторы всех точек изменятся. Пусть новый радиус-вектор точки М и Тогда соотношение, связывающее новый и старый радиусы-векторы точки М, будет иметь вид (см. рис. 4)

Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат, начала которых расположены соответственно в точках О и О, оси которых параллельны и определяются единичными взаимно ортогональными векторами . Тогда по отношению к первой системе координаты точки М будут совпадать с координатами вектора х, а по отношению ко второй — с координатами вектора Запишем разложения векторов по базису в виде

Рис. 4.

Тогда в силу формулы (1), координаты этих векторов будут связаны соотношениями

Полученные формулы показывают, как преобразуются координаты точки М при параллельном переносе системы координат,

Заметим, что при параллельном переносе системы координат координаты векторов не меняются, так как в этом случае не меняются базисные векторы.

Как мы уже говорили в предыдущем параграфе, все величины и уравнения, которые имеют какой-либо геометрический смысл, должны оставаться инвариантными (неизменными) при любых преобразованиях прямоугольной системы координат. Так как координаты векторов меняются только при изменениях ортогонального базиса и не меняются при параллельном переносе осей координат, то при параллельном переносе

останутся инвариантными любые величины, зависящие от координат векторов. Поэтому инвариантность таких величин следует проверять только относительно вращений системы координат. В противоположность этому величины, зависящие от координат точек, будут меняться не только при вращениях системы координат, но и при ее параллельных переносах. Поэтому инвариантность величин, зависящих от координат точек, следует проверять по отношению к обоим типам преобразований.

Рассмотрим теперь некоторые конкретные вопросы аналитической геометрии в пространстве.

1. Расстояние между двумя точками и деление отрезка в данном отношении. Пусть М и — две точки пространства и — их радиусы-векторы. Тогда и длина отрезка выразится следующим образом:

Инвариантность этого выражения по отношению к любым преобразованиям координат следует из того, что расстояние между точками М и равно длине вектора которая, как мы видели, является неизменной при таких преобразованиях.

Точка Р, делящая отрезок в отношении X, так что определяется радиусом-вектором таким, что

откуда

Координаты этого вектора связаны с координатами векторов х и у соотношениями

При параллельном переносе системы координат, определяемом вектором соотношение (3) принимает вид

где

т. е. остается инвариантным.

2. Уравнение плоскости в пространстве. Пусть пространстве задан ортонормированный базис из векторов и произвольная плоскость . Координаты вектора нормали к этой плоскости обозначим через

Радиус-вектор точки плоскости с координатами можно записать в виде

а радиус-вектор х произвольной точки М плоскости т. с координатами виде

Тогда для вектора получим

Поскольку векторы перпендикулярпы, имеем

или

Полученное уравнение (6) является уравнением плоскости в векторной форме.

Используя (4), (5) и выражение скалярного произведения векторов через координаты векторов, получим отсюда

или, обозначая через

Последнее уравнение может быть записано в виде

Если плоскость проходит через начало координат, то и ее уравнение имеет вид

Пусть теперь плоскость не проходит через начало координат. Тогда Разделим все члены уравнения (6) на и обозначим — через Уравнение примет вид

Числа И; называются тангенциальными координатами плоскости.

3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость в некотором ортонормированном базисе задана уравнением

Единичный вектор нормали к плоскости можно записать в виде

Рассмотрим произвольную точку пространства с координатами и точку М с координатами лежащую в плоскости Расстояние 8 от точки до плоскости можно записать в виде

В частности, расстояние 80 начала координат от плоскости - равно

4. Уравнение прямой в пространстве. Пусть прямая в пространстве задана точкой радиус-вектор которой имеет в ортонормированном базисе координаты и направляющим вектором Пусть

— радиус-вектор произвольной точки М прямой. Поскольку векторы и а коллинеарны и

имеем

или, в координатной форме,

В этих уравнениях А — параметр, который может принимать любые действительные значения. Уравнения (7) представляет собой векторное уравнение прямой в пространстве, а уравнения (7) — ее параметрические уравнения.

5. Прямая как пересечение двух плоскостей. Пусть прямая задана как пересечение двух плоскостей Тогда она определяется системой уравнений

здесь и -координаты нормальных векторов и плоскостей и Чтобы от уравнений (8) перейти к уравнениям (7), надо найти какую-нибудь точку, лежащую на прямой, и направляющий нектор этой прямой. Вектор перпендикулярен векторам поэтому в качестве вектора а можно взять векторное произведение

Для нахождения точки надо зафиксировать одну из координат и затем решить систему (8) относительно двух других координат (фиксировать надо такую координату, чтобы после этого система (8) имела решение).

Пусть -найденные указанным выше способом координаты точки прямой. Тогда уравнения прямой можно записать в виде

6. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости. В аналитической геометрии общее уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат на плоскости записывалось в виде

Будем теперь обозначать координаты х и у буквами и и условимся считать, что коэффициент при произведении равен коэффициент при равен а свободный член равен а. Тогда уравнение (9) перепишется в виде

причем Здесь в первом слагаемом суммирование происходит по двум индексам и Если первое слагаемое записать подробно, то получим

Поэтому в полной записи уравнение (10) примет вид

мы видим, что оно идентично уравнению (9). Напомним, что условие

означает, что кривая второго порядка — центральная и начало координат помещено в ее центре симметрии, а условия

означают, что кривая второго порядка распадается на две пересекающиеся прямые, проходящие через начало координат.

7. Уравнение поверхности второго порядка в пространстве. Общее уравнение поверхности второго порядка относительно декартовой системы координат записывается в виде

Если воспользоваться обозначениями, аналогичными тем, которые мы только что ввели для кривой второго порядка, то это уравнение в сокращенных обозначениях примет вид

где Мы видим, что уравнения (10) и (11) записаны совершенно одинаково, разница между ними состоит только

в том, что индексы суммирования в (10) принимают значения 1, 2, а в (11) — значения 1, 2, 3.

Снопа условие

означает, что поверхность второго порядка — центральная и начало координат помешено в ее центре симметрии, а условия

означают, что поверхность второго порядка представляет собой конус второго порядка с вершиной в начале координат, который, в частности, может распадаться на две пересекающиеся или совпадающие плоскости.

8. Определение центра кривой и поверхности второго порядка. Поскольку уравнения кривой и поверхности второго порядка в сокращенных обозначениях выглядят одинаково, многие вопросы для них можно изложить совместно, надо лишь твердо помнить, что для кривой индексы суммирования принимают два, а для поверхности — три значения.

Рассмотрим в качестве примера вопрос об определении центра кривой и поверхности второго порядка.

Пусть нам дано уравнение

Предположим, что это уравнение определяет центральную кривую или поверхность второго порядка с центром О. Произведем параллельный перенос прямоугольной системы координат, совместив новое начало О с центром; пусть — радиус-вектор, определяющий положение начала О повой системы координат, Тогда старые координаты и новые координаты точки М будут связаны соотношениями (1:

Подставляя эти значения в уравнение (11), мы получим, что в ноной системе координат уравнение (11) примет вид

или

Если в третьем слагаемом заменить индекс суммирования на на I и учесть, что то получим

Поскольку новое начало — центр, мы должны иметь

Координаты центра обязаны удовлетворять системе (12). Для того чтобы центр существовал, необходимо и достаточно, чтобы эта система имела решение, т. е. чтобы ее определитель (он будет второго порядка для кривой и третьего — для поверхности) был отличен от нуля.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)