§ 2. Линейная зависимость векторов

I. Пусть — векторы линейного векторного пространства и — действительные числа. Вектор

называется линейной комбинацией векторов а числа — коэффициентами этой линейной комбинации.

Если то Но может быть и так, что существует линейная комбинация векторов которой не все коэффициенты равны нулю, но которая тем не менее равна нулю. В этом случае векторы называются линейно зависимыми. Иначе говоря, эти векторы будут линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа не все равные нулю, что

Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа равны пулю, то векторы называются линейно независимыми.

Отметим три простых свойства линейно зависимых векторов.

а) Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.

В самом деле, пусть — линейно зависимые векторы. Тогда

где не все коэффициенты равны нулю. Пусть, например, Тогда

что и доказывает теорему.

Обратно, если

то

т. е. векторы линейно зависимы.

б) Если некоторые из векторов линейно зависимы, то и вся эта система векторов линейно зависима.

Пусть линейно зависимы векторы Тогда

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Но тогда и

Это равенство показывает линейную зависимость векторов так как среди коэффициентов линейной комбинации, стоящей в его левой части, имеются отличные от нуля.

в) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Пусть, папример, Тогда

2. Приведем примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства

а) Нулевой вектор 0 является линейно зависимым, так как при любом (это следует также из свойства

б) Любой вектор будет линейно независимым, так как на —0 только при

в) Два коллинеарных вектора линейно зависимы. Действительно, если , то или

Рис. 1.

Если же то эти векторы линейно зависимы в силу свойства и).

г) Два неколлинеарных вектора линейно независимы. В самом деле, предположим противное: пусть где . Тогда . А это означает, что векторы коллинеарны.

д) Три компланарных вектора линейно зависимы. Пусть векторы с компланарны, причем векторы не коллинеарны. Тогда вектор с можно представить (рис 1) в виде

что в силу свойства а) означает линейную зависимость векторов . Если же векторы коллинеарны, то они линейно зависимы, а поэтому в силу свойства б) и векторы a, b, c линейно зависимы.

е) Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству примера г).

ж) Любые четыре вектора пространства всегда линейно зависимы. Действительно, если какие-нибудь три вектора линейно зависимы, то согласно свойству б) и все четыре вектора будут линейно зависимы. Если же имеются три линейно независимых вектора , то любой четвертый вектор

может быть представлен в виде линейной комбинации векторов откуда в силу свойства а) следует линейная зависимость векторов

Рис. 2.

з) В пространстве линейио независимыми будут векторы

В самом деле, рассмотрим их линейную комбинацию

Эта комбинация будет равна нулю только тогда, когда

Система векторов пространства состоящая из векторов и произвольного вектора будет линейно зависимой, так как вектор х может быть представлен в виде

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)