Главная > Тензорное исчисление
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Линейная зависимость векторов

I. Пусть — векторы линейного векторного пространства и действительные числа. Вектор

называется линейной комбинацией векторов а числа — коэффициентами этой линейной комбинации.

Если то Но может быть и так, что существует линейная комбинация векторов которой не все коэффициенты равны нулю, но которая тем не менее равна нулю. В этом случае векторы называются линейно зависимыми. Иначе говоря, эти векторы будут линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа не все равные нулю, что

Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа равны пулю, то векторы называются линейно независимыми.

Отметим три простых свойства линейно зависимых векторов.

а) Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.

В самом деле, пусть — линейно зависимые векторы. Тогда

где не все коэффициенты равны нулю. Пусть, например, Тогда

что и доказывает теорему.

Обратно, если

то

т. е. векторы линейно зависимы.

б) Если некоторые из векторов линейно зависимы, то и вся эта система векторов линейно зависима.

Пусть линейно зависимы векторы Тогда

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Но тогда и

Это равенство показывает линейную зависимость векторов так как среди коэффициентов линейной комбинации, стоящей в его левой части, имеются отличные от нуля.

в) Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Пусть, папример, Тогда

2. Приведем примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства

а) Нулевой вектор 0 является линейно зависимым, так как при любом (это следует также из свойства

б) Любой вектор будет линейно независимым, так как на —0 только при

в) Два коллинеарных вектора линейно зависимы. Действительно, если , то или

Рис. 1.

Если же то эти векторы линейно зависимы в силу свойства и).

г) Два неколлинеарных вектора линейно независимы. В самом деле, предположим противное: пусть где . Тогда . А это означает, что векторы коллинеарны.

д) Три компланарных вектора линейно зависимы. Пусть векторы с компланарны, причем векторы не коллинеарны. Тогда вектор с можно представить (рис 1) в виде

что в силу свойства а) означает линейную зависимость векторов . Если же векторы коллинеарны, то они линейно зависимы, а поэтому в силу свойства б) и векторы a, b, c линейно зависимы.

е) Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству примера г).

ж) Любые четыре вектора пространства всегда линейно зависимы. Действительно, если какие-нибудь три вектора линейно зависимы, то согласно свойству б) и все четыре вектора будут линейно зависимы. Если же имеются три линейно независимых вектора , то любой четвертый вектор

может быть представлен в виде линейной комбинации векторов откуда в силу свойства а) следует линейная зависимость векторов

Рис. 2.

з) В пространстве линейио независимыми будут векторы

В самом деле, рассмотрим их линейную комбинацию

Эта комбинация будет равна нулю только тогда, когда

Система векторов пространства состоящая из векторов и произвольного вектора будет линейно зависимой, так как вектор х может быть представлен в виде

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru