§ 2. Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования в случае различных собственных значений

Рассмотрим случай, когда все три корня характеристического уравнения действительны и различны, и покажем, как с поыощыо преобразования базиса можно упростить матрицу такого линейного преобразования.

Пусть — три различных собственных значения преобразования А и — соответствующие им собственные

векторы, т. е.

Докажем, что эти три вектора линейно независимы. Рассмотрим сначала какие-нибудь два из векторов например, и допустим, что они связаны соотношением

причем как собственные векторы, отличны от нуля. Применим к обеим частям этого соотношения преобразование А. Тогда получим

или

Умножив (1) на и на и сложи» каждое из полученных равенств с равенством (2), будем иметь

откуда, поскольку , следует

что означает линейную независимость векторов и . Рассмотрим теперь все три собственных вектора . В силу только что доказанного каждая пара векторов линейно независима. Докажем, что все три вектора также линейно независимы. Допустим, что эти три вектора линейно независимы, т. е.

где, например, Применив к равенству (3) преобразование А, будем иметь

или

Умножив равенство (3) на и сложив полученное равенство с равенством (4), получим

откуда, поскольку следует линейная зависимость векторов Но такой зависимости, в силу первой части нашего доказательства, быть не ложе

Линейно независимые некторы можно принять за базис. Заметим, что некторы этого базиса, вообще говоря, не будут ортогональными. Произвольный нектор X относительно базиса имеет координаты т. е.

а его образу при преобразовании А — координаты

Поскольку

получаем следующее координатное представление преобразования в базисе

Следовательно, в базисе, состоящем из собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, матрица преобразования А имеет вид

т. е. является диагональной, матрицей.

Обратное утверждение: если в некотором базисе линейное преобразование имеет диагональную матрицу

— различные действительные числа, то все векторы базиса - собственные. Это утверждение доказано нами в примере д) на сгр, 135,

Из доказанного видно, что собственные векторы играют важную роль в теории линейных преобразований: если существует базис из собственных векторов, то в этом базисе преобразование имеет наиболее простое координатное представление и может быть определено с помощью одних лишь собственных значений базисных векторов.

Очевидно, что в случае плоскости можно доказать аналогичное утверждение: если линейное преобразование А на плоскости имеет два различных действительных значения то в базисе, состоящем из двух собственных векторов (они будут неколлинеарными, но не обязательно ортогональными), матрица А этого преобразования будет диагональной:

В заключение рассмотрим два примера.

а) Линейное преобразование А плоскости 12 в некотором базисе имеет матрицу

Путем перехода к новому базису привести эту матрицу к диагональному виду (если это возможно).

Решение. Мы уже видели (§ 1, пример е), стр. 142), что рассматриваемое линейное преобразование имеет собственные значения и собственные векторы Если векторы принять за базис, то в этом базисе матрица преобразования А будет иметь вид

б) Линейному преобразованию А пространства в некотором базисе соответствует матрица

Путем перехода к новому базису привести эту матрицу к диагональному виду (если это возможно),

Решение. Составляем характеристическое уравнение преобразования А:

и

Корни этого уравнения действительны и различны. Определим соответствующие им собственные векторы.

последнего уравнения находим тогда первые два уравнения дают Поэтому

Из первого и третьего уравнений следует, что Тогда из системы следует, что Поэтому

Последнее уравнение дает и из первых двух получаем Поэтому

Перейдя к базису мы приведем матрицу преобразования А к диагональному вид у:

Теперь ясно, что линейное преобразование А переводит вектор в вектор

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)