Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования в случае различных собственных значенийРассмотрим случай, когда все три корня характеристического уравнения действительны и различны, и покажем, как с поыощыо преобразования базиса можно упростить матрицу такого линейного преобразования. Пусть векторы, т. е.
Докажем, что эти три вектора линейно независимы. Рассмотрим сначала какие-нибудь два из векторов
причем
или
Умножив (1) на
откуда, поскольку
что означает линейную независимость векторов
где, например,
или
Умножив равенство (3) на
откуда, поскольку Линейно независимые некторы
а его образу при преобразовании А — координаты
Поскольку
получаем следующее координатное представление преобразования
Следовательно, в базисе, состоящем из собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, матрица преобразования А имеет вид
т. е. является диагональной, матрицей. Обратное утверждение: если в некотором базисе
Из доказанного видно, что собственные векторы играют важную роль в теории линейных преобразований: если существует базис из собственных векторов, то в этом базисе преобразование имеет наиболее простое координатное представление и может быть определено с помощью одних лишь собственных значений базисных векторов. Очевидно, что
В заключение рассмотрим два примера. а) Линейное преобразование А плоскости 12 в некотором базисе имеет матрицу
Путем перехода к новому базису привести эту матрицу к диагональному виду (если это возможно). Решение. Мы уже видели (§ 1, пример е), стр. 142), что рассматриваемое линейное преобразование имеет собственные значения
б) Линейному преобразованию А пространства
Путем перехода к новому базису привести эту матрицу к диагональному виду (если это возможно), Решение. Составляем характеристическое уравнение преобразования А:
и
Корни этого уравнения
Из первого и третьего уравнений следует, что
Последнее уравнение дает Перейдя к базису
Теперь ясно, что линейное преобразование А переводит вектор ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|