§ 4. Классификация поверхностей второго порядка

Проведем теперь внутри каждого из пяти полученных в § 2 типов дальнейшую классификацию поверхностей — классификацию, которая бы учитывала все возможные комбинации знаков у отличных от нуля коэффициентов, входящих в простейшие уравнения, а также возможность обращения некоторых коэффициентов в нуль.

I. Простейшее уравнение поверхностей этого типа имеет

Различные комбинации знаков коэффициентов приводят к следующим случаям:

одного знака, который противоположен знаку Тогда простейшее уравнение можно переписать в виде

где . Уравнение (10 является, как известно, каноническим уравнением эллипсоида.

одного знака. Перепишем уравнение (I) в виде

где Уравнение (12) является каноническим уравнением мнимого эллипсоида. Не существует ни одной действительной точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению (12).

одного знака, а и имеют знак, противоположный знаку Уравнение (I) в этом случае можно переписать в виде

где получили каноническое уравнение одно полости ого гиперболоида. и одного знака, противоположного знаку

Обозначая соответственно через получим уравнение

которое является каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

одного знака, противоположного знаку

Уравнение можно переписать в виде

где . Уравнение есть каноническое уравнение конуса второго порядка.

одного знака, Тогда уравнение можно записать в каноническом виде:

где по-прежнему . Уравнению удовлетворяют только координаты точки (0, 0, 0). Будем говорить, что уравнение определяет мнимый конус с действительной вершиной.

II. Простейшее уравнение поверхностей второго типа записывается в виде

где Этот тип приводит нас к двум существенно различным видам поверхностей:

и одного знака. Можно считать, что имеет знак, противоположный знаку в противном случае можно добиться этого, изменив направление оси Поэтому, обозначая положительные в силу условия величины соответственно через и придем к уравнению

которое является каноническим уравнением эллиптического параболоида.

II. разных знаков. Тогда, если считать, что знак X, противоположен знаку то, обозначая — через через получим каноническое уравнение

гиперболического параболоида.

III. Простейшее уравнение поверхностей этого типа записывается так:

Здесь могут представиться следующие возможности:

одного знака, имеет противоположный знак. Тогда уравнение (III) можно переписать в виде

где Получаем каноническое уравнение эллиптического цилиндра.

и одного знака. Тогда, полагая

приводим уравнение (III) к каноническому виду:

Мы получили уравнение поверхности, не имеющей ни одной точки с действительными координатами. Эту поверхность называют мнимым эллиптическим цилиндром.

разных знаков, Тогда, если имеет знак, противоположный знаку то, полагая приводим уравнение (III) к каноническому виду:

Это уравнение представляет собой каноническое уравнение гиперболического цилиндра.

разных знаков, Обозначая получим каноническое уравнение

двух пересекающихся плоскостей

одного знака, Обозначая опять приведем уравнение к каноническому виду:

Уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой Будем говорить, что уравнение определяет пару мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой.

IV. Простейшее уравнение поверхностей четвертого типа записывается в виде

Здесь можно получить только один тип поверхности:

где Уравнение является каноническим уравнением параболического цилиндра.

V. Поверхности пятого типа имеют простейшее уравнение

Здесь имеются три возможности:

имеют противоположные знаки. Тогда (V) принимает вид

где и представляет собой каноническое уравнение двух параллельных плоскостей.

одного знака. Тогда, обозначая придем к каноническому уравнению

двух мнимых параллельных плоскостей.

Уравнение (V) принимает вид

и представляет собой каноническое уравнение двух совпадающих плоскостей.

Таким образом, всего мы получили 17 возможных, геометрически различных видов поверхностей второго порядка.

Что касается кривых второго порядка, то они делятся на девять видов:

(см. скан)

Указанная классификация и соответствующие канонические уравнения без труда могут быть получены читателем.