ГЛАВА V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Его инварианты

1. Как мы уже отмечали (гл. I, стр. 47), общее уравнение поверхности второго порядка в ортогональной системе координат с началом в точке О имеет вид

Здесь — координаты точки поверхности второго порядка или радиуса-вектора этой точки.

В настоящей главе мы выясним, как выбрать новый ортонормированный базис, в котором уравнение (1) приняло бы наиболее простой (канонический) вид, и благодаря этому мы сумеем произвести классификацию поверхностей второго порядка.

Изучим, как преобразуются коэффициенты а уравнения поверхности второго порядка при различных преобразованиях системы координат, и найдем функции от этих коэффициентов, которые меняются при таких преобразованиях, т. е. являются инвариантами.

Поскольку поверхность второго порядка рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то нужно рассмотреть дна возможных преобразования системы координат: поворот и параллельный перенос осей координат.

а) Поворот осей координат. Как было доказано (гл. I, стр. 37), при повороте осей координат старые координаты точки М связаны с новыми координатами х этой точки соотношениями

где элементы матрицы обратной к ортогональной матрице , определяющей переход от старой системы координат к повой.

После поворота уранпепие (1) перейдет в

Следовательно, нповь полученное уравнение имеет тот же вид, что и (1):

причем, учитывая, что для ортогональной матрицы имеем

Эти равенства показывают, что коэффициенты a образуют тензор нторой налептности, коэффициенты — тензор первой валентности, а свободный член а не меняется при повороте осей (является тензором пулевой валентности).

Отсюда следует, что уравнение (1) можно переписать в виде

где — радиус-вектор точки поверхности, — квадратичная форма, а — линейная форма от этого радиуса-вектора.

б) Параллельный перенос осей координат. Перейдем от прямоугольной системы координат с началом в точке О к попой системе координат с теми же базисными векторами и попым началом, расположенным точке О. Запишем разложение радиуса-вектора точки О по базису е.ь в виде

Как известно (гл. I, стр. 42), новые координаты и старые координаты точки М связаны соотношением Поэтому уравнение (1) в новой системе координат будет иметь вид (см. стр. 49)

где

Таким образом, при параллелыюм переносе осей коэффициенты квадратичной формы не меняются. Отсюда сразу следует, что составленные из коэффициентов величины

которые являются инвариантами тензора , следовательно, не меняются при повороте осей координат (гл. IV, стр. 139), не будут изменяться и при параллелыюм переносе осей, т. е. являются инвариантами общего уравнения поверхности второго порядка относительно наиболее общего преобразования системы координат.

2. Уравнение (1) имеет еще один инвариант относительно общего преобразования сиетемы координат. Этим инвариантом является определитель

Докажем инвариантность величины Для этого заметим прежде всего, что определитель путем разложения по последней строке и последнему столбцу может быть представлен в виде

где - алгебраическое дополнение элемента в определителе (Эта формула легко проверяется непосредственным подсчетом.) Как было доказано ранее (см. упр. 1 на стр. 71), эти алгебраические дополнения образуют тензор, который

удовлетворяет соотношению

В выражении первое слагаемое инвариантно относительно поворота, а второе — предстаилиет собой результат полного свертывания и, следовательно, тоже обладает этим свойством. Поэтому инвариантно относительно поворота.

Докажем теперь инвариантность величины относительно параллельного переноса. При параллельном переносе величины не изменяются и, следовательно,

Используя соотношения (3) и равенства (6), непосредственно убедимся в том, что Таким образом, инвариантность величины полностью доказана.

3. Докажем теперь, что но отношению к повороту осей координат уравнение (1) имеет еще дна инварианта:

Для этого рассмотрим уравнение

которое получено добавлением к левой части уравнения поверхности второго порядка слагаемого, не меняющегося ипи повороте осей координат. Определитель составленный для этого уравнения, зависит от параметра , и, по доказанному в предыдущем пункте, не меняется при повороте осей координат. Определитель будет многочленом третьей степени от X, коэффициентами при X и котором служат величины Так как параметр X произволен, то эти коэффициенты также не меняются при повороте, т. е. являются инвариантами относительно поворота осей координат.

Заметим, что коэффициентом при в правой части будет величина а, в инвариантности которой по отношению к

повороту мы убедились ранее. Коэффициентом при нулевой степени X будет величина также инвариантная при повороте.

Величины и К вообще говоря, не будут инвариантны при параллельном переносе осей координат, так как само уравнение (4) не сохраняет своего вида при таком преобразовании. Поэтому их называют семиинвариантами (полуинвариантами).

Найденные инварианты позволят нам и дальнейшем, после того как будет дана классификация поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям, распознавать тип поверхности без приведения к каноническому виду, определять характер множества центров симметрии и, наконец, дадут возможность указать простой способ приведения уравнения поверхности к каноническому виду.

4. Кривые второго порядка на плоскости определяются уравнением (1), в котором индексы принимают только значения 1 и 2. Инвариантами уравнения кривой второго порядка будут выражения

Выражение

инвариантно только при повороте осей (т. е. является семиинвариантом). Доказательство этих утверждений, аналогичное доказательствам, содержащимся в этом параграфе, предоставляется читателю.