§ 4. Алгебраические операции над тензорами

1. Сложение тензоров. Пусть — дне полилинейные формы от одних и тех же векторных аргументов одной и той же степени Их суммой как легко видеть, будет полилинейная форма той же степени Суммой тензоров и валентности определяемых полилинейными формами назовем тензор определяемый формой Так как

то компоненты тензора связаны с компонентами тензоров соотношениями

2. Умножение тензора на действительное число. Произведение Хер полилинейной формы степени из действительное число X является полилинейной формой той же степени Произведением тензора валентности определяемого формой на число X назовем тензор той же валентности, определяемый формой Так как

то

Из сказанного выше следует, что совокупность полилинейных форм степени так же как и сопокупность тензоров валентности образует линейное пространство. Размерность этого пространства будет раина Такое пространство называют -кратным тензорным произведением линейного пространства Базисом этого пространства могут служить, например, -линейных форм вида

3. Умножение тензоров. Пусгь — две полилинейные формы соотнетстченно степеней и от различных векторных аргументов. Тогда их произведение будет полилинейной формой степени Например, если — трилинейная, — билинейная форма, то их произведение будет полилинейной формой степеии о.

Формы определяют тензоры соответственно валентностей и Назовем произведением тензоров, определяемых формами тензор, определяемый их произведением Так как форма имеет степень то произведением тензоров валентности и япляется тензор валентности Например, формы

определякет соответственно тензоры валентностей 3 и 2, а их произведение

— тензор валентности 5, который является произведением тензоров и .

Таким образом, компоненты произведения двух тензоров представляют собой произведения каждой компоненты первого тензора на каждую компоненту второго.

В примере в) на стр. 56 мы, по существу, построили тензор второй валентности, составляя произведение двух одновалентных тензоров и точно так же на стр. 60 в примере б) мы построили трехвалентный тензор, являющийся произведением трех одновалентных тензоров

4. Свертывание тензора. Пусть полилинейная форма степени Подставим в нее вместо каких-либо двух аргументов, например х и у, базисные векторы и в] и обозначим

Эти выражения являются линейными функциями векторных аргументов но они не являются линейными формами, гак как зависят еще от выбора базиса. Найдем, как выражения изменяются при преобразованиях базиса пространства Если обозначить

то, так как

мы будем иметь

Положим теперь и сложим три получаютцихся при этом равенства. Тогда

Но по свойству ортогональных матриц (формула (6) § 6 гл.

и

Эти соотношения показывают, что выражение которое линейно зависит от векторных аргугентов не зависит от выбора базиса. Следовательно, оно является полилинейной формой Степень этой иолилпнсйиой формы равна так как число векторных аргументов, которых она зависит, на дне единицы меньше числа аргументов, от которых зависит форма 9.

Запишем теперь исходную форму в координатах:

Если положить здесь будем иметь

Поэтому выражения примут пил

Отсюда вытекает, что

Следовательно, компоненты тензора валентности определяемого формой выражаются через компоненты тензора определяемого исходной формой а, по формулам

или, более подробно, но формулам

Операция получения тензора из тензора называется свертыванием тензора но индексам и

Точно так же можно определить свертывание тензора по любой другой паре индексов. Как мы видим, при свертывании тензора его валентность понижается на две единицы. Например, при свертывании двухвалентного тензора мы получим тензор нулевой валентности, т. е. инвариант. Этот инвариант называется следом тензора и обозначается так:

5. Свертывание произведения тензоров. Рассмотрим дна произвольных тензора, например, тензоры и валентностей 3 и 2, и образуем их произведение — пятивалентный тензор. А теперь свернем полученный тензор, например, по индексам и В результате получим тензор

валентности 3. Такая операция называется свертыванием тензоров и по индексам и

Таким образом, операция свертывании двух тензоров состоит в их умножении и свертывании полученного в результате умножения тензора по индексам, принадлежащим разным сомножителям. Б результате свертывания тензоров валентности и получается тензор валентности

По существу, с операцией свертывания тензоров мы уже много раз встречались. Так, например, скалярное произведение векторов и которое вычисляется но формуле представляет собой результат свертывания одновалентных тензоров и составленных из координат векторов х и у. Линейная форма является результатом свертывания тензоров билинейная форма является результатом свертывания тензора с тензором и последующего свертывания тензора с тензором и т. д.

Особенно простой характер носит свертывание произвольного тензора с единичным тензором Например,

так как отлично от пуля только при

Как уже видно из приведенных примеров, свертывание тензоров можно производить не только по одной паре индексов, и по любому количеству таких пар. В результате этого свертывания получается новый тензор, валентность которого на единиц меньше суммы валентностей исходных тензоров.

Докажем теперь важную теорему, которую обычно называют обратным тензорным признаком.

Теорема. Пусть в каждом ортонормированном базисе задана совокупность чисел такая, что при свертывании ее с произвольным тензором валентности снова получается тензор валентности Тогда исходная система чисел является тензором валентности

Докажем эту теорему для частного случая, когда и заданная система чисел имеет вида По условию теоремы величины

образуют тензор, если только тензор. Пусть произведение векторов Тогда

Свернем это выражение с произвольными векторами

Так как — тензор, то выражение, стоящее в левой части этого равенства, предстапляет скалярную функцию. Но правая часть этого равенства линейно зависит от координат векторов х, у, z, . Поэтому эта скалярная функция является полилинейной формой степс пять. Следовательно, числа являющиеся коэффициентами этой полилинейной формы, образуют тензор палемтпсстн пять. Точно так же эта теорема доказывается и общем случае.

6. Перестановка индексов тензора. Пусть — полилинейная форма и — определяемый ее тензор, так что

Рассмотрим форму которая получается из формы путем перестановки некоторых ее аргументов. Пусть, например,

Если обозначить через тензор, определяемый формой то это соотношение можно переписать в виде

Меняя индексы суммирования в правой части и учитывая, что это соотношение является тождеством, получим отсюда, что

Тензор отличается от тензора только другой нумерацией своих компонент. Операция, состоящая в перенумеровании компонент тензора называется перестановкой индексов тензора. Заметим, что тензоры и - существенно различные тензоры, так как их соответствующие компоненты (компоненты с одинаковыми индексами), вообще говоря, не будут равны между собой.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)