§ 4. Подвижной репер ортогональной криволинейной системы координат и тензорные поля

1. Пусть дана некоторая область евклидова пространства отнесенная к какой-нибудь ортогональной криволинейной системе координат Тогда через каждую точку М проходят три попарно ортогональные координатные линии. Построим единичные векторы исходящие

из точки М, касающиеся и М соответствующих координатных линий и направленные в сторону возрастания соответствующей координаты. Поскольку такое построение мы осуществляем каждой точке то в каждой точке области возникает своя тройка единичных попарно ортогональных лекторов , которая зависит только точки М:

или

Такую тройку единичных попарно ортогональных векторов назовем подвижным репером, а сами эти векторы — ортами подвижного репера.

Если векторы образуют в каждой точке правую тройку, то говорят, что задана правая криволинейная система координат. Так, например, прямоугольная декартова система координат (при обычном расположении осей, принятом в аналитической геометрии) будет правой. Правыми будут также цилиндрическая и сферическая системы координат (но именно при том порядке координат, в котором они введены в примерах б), в) § 3).

Заметим, что в прямоугольной декартовой системе координат направления векторов не зависят от точки, в которой они построены; можно сказать, что все положения подвижного репера получаются из какого-то одного его положения с помощью параллельного переноса.

Что касается действительно криволинейных систем координат (например, цилиндрической и сферической), то там векторы построенные в различных точках, уже вовсе не обязательно параллельны друг другу; гак, например, в цилиндрической системе координат векторы , построенные в разных точках, имеют разные направления.

2. Рассмотрим теперь радиус-вектор точки М:

Когда постоянны, а изменяется лишь годографом этого радиуса-вектора служит координатная линия а потому вектор направлен по касательной к координатной линии

и, следовательно,

где

Аналогично

где

Обозначим теперь через неподвижный базис евклидова пространства. Тогда

Так как

то

Таким образом,

Величины называются коэффициентами Ламе. (Их не следует путать с коэффициентами Ламе, введенными в § 4 предыдущей главы (стр. 259).) Формулы (I) дают выражение этих коэффициентов через частные производные от прямоугольных декартовых координат по криволинейным.

Рассмотрим теперь дифференциал радиуса-вектора точки М:

Если внести сюда выражения для векторов через базисные векторы подвижного репера, присоединенного к точке

М, то получим

(В этой формуле мы поставили знак суммы, так как в ней индекс повторяется три, а не два раза, как обычно.) Положим в этом соотношении

Тогда

Величины линейно зависят от дифференциалов криволинейных координат. Поэтому их называют линейными дифференциальными формами. Формы являются коэффициентами разложения дифференциала по векторам подвижного репера, присоединенного к точке

Дифференциальные формы ; являются линейно независимыми формами, так как уравнения (2) могут быть однозначно разрешены относительно независимых дифференциалов криволинейных координат.

Из соотношения (3) можно получить выражение для квадрата элемента длины в криволинейной ортогональной системе координат. В самом деле,

Но Поэтому предыдущее соотношение переписывается в виде

или, подробнее,

Подставляя сюда выражения (2) для формы получим другое выражение для квадрата элемента длины:

Далее, поскольку каждый из дифференциалов векторов подвижного репера сам является вектором, его можно разложить по векторам обозначая коэффициенты этого разложения через будем иметь

Найдем, как выразятся коэффициенты через дифференциалы криволинейных координат. Если обе части формулы (5) скалярно умножить на вектор то получим

или

Но

Поэтому

Следовательно, коэффициенты являются линейными дифференциальными формами от дифференциалов криволинейных координат. Если, пользуясь соотношениями (2), подставить в предыдущие формулы пместо дифференциалов незаписимые формы то получим

Последние формулы можно переписать в виде

где через обозначены коэффициенты

Здесь в правой части стоит выражение, в котором по повторяющемуся индексу а суммирование не производится. Поэтому его обозначили греческой буквой. И в дальнейшем по повторяющемуся греческому индексу суммирование производиться не будет. Для латинских же индексов остаются в силе все прежние правила о суммировании. Величины будем называть символами Кристоффеля.

Уравнейия (3) и называют уравнениями инфинитезимального перемещения подвижного репера, связанного с ортогональной криволинейной системой координат. Дифференциальные формы называют компонентами инфинитезимального перемещения этого подвижного репера.

Как уже указывалось, дифференциальные формы являются линейно независимыми. Что касается форм , то они удовлетворяют целому ряду соотношений. Эти соотношения мы получим, дифференцируя равенства

выполняющиеся для базисных векторов ортонормированного репера:

Подставляя сюда разложения векторов из формулы (5), найдем искомые соотношения:

Отсюда, в частности, следует, что

Из (8) вытекает, что символы Кристоффеля также удовлетворяют целому ряду соотношений. В самом деле, соотношения (8) могут быть переписаны в виде

откуда, в силу линейной независимости форм следует, что

т. е. величины кососимметричны по первым двум индексам. В частности,

Установим еще некоторые соотношения между символами Кристоффеля. Имеем

В этом соотношении следует считать так как

Поэтому векторы ортогональны и второе слагаемое прапой части этого соотношения обращается в нуль. Следовательно, при .

Так как эти выражения будут симметричными относительно индексов

Пусть теперь Тогда

Но Поэтому

Соотношения означают, что символы Кристоффеля при симметричны по крайним индексам. Это свойство вместе со свойством (9) кососимметричности по первым дпум индексам дает для величин с разными индексами соотношение

которое означает, что величины с разными индексами равны 0:

Таким образом, в ортогональной криволинейной системе координат из 27 величии ненулевыми могут быть не более 12:

3. Найдем для рассмотренных в § 3 декартовых, цилиндрических и сферических координат коэффициенты Ламе величины и - квадрат длины вектора

а) В случае прямоугольных декартовых координат векторы поэтому , следовательно, в силу формул пеличипы

Обратно, если какой-нибудь системе координат все то и рассматриваемая система координат будет прямоугольной декартовой.

Что касается коэффициентов Ламе, то формулы (1) показывают, что все они. равны 1:

так как и поэтому по формулам (4)

Наконец, формулы (2) показывают, что

б) В случае цилиндрической системы координат в силу формул (3) § 3 и формул (1) этого параграфа получаем следующие выражения для коэффициентов Ламе:

откуда

и по формулам (4)

Что касается величин то те из них, которые могут быть отличными от нуля, в силу формул (11) в цилиндрических координатах имеют вид

Отсюда в силу формул (2) и (6)

Это означает, что

т. е. что при перемещении репера вектор не меняется, а векторы и меняются (это, конечно, вытекает также из геометрического смысла цилиндрических координат).

а) Для сферической системы координат в силу формул (4) § 3 и формул (1) этого параграфа получаем следующие выражения для коэффициентов Ламе;

откуда

и по формулам (4)

Те из величин которые в ортогональных криволинейных координатах могут быть отличными от нуля, в сферической системе координат в силу (11) имеют вид

Отсюда в силу формул (2) и (6) имеем следующие выражения для форм

Теперь все т. е. при переходе из точки М в бесконечно близкую точку все векторы подвижного репера поворачиваются

(этот факт также легко усматривается из геометрического смысла сферических координат).

4. Чтобы рассмотреть тензоры и ортогональных криволинейных координатах, выясним, что происходит с подвижным репером, когда ортогональные криволинейные координаты подвергаются преобразованию

где — новые ортогональные криволинейные координаты, Формулы (12) предполагаются обратимыми, а функции — дважды непрерывно дифференцируемыми.

Для новых ортогональных криволинейных координат в каждой точке М возникает спой подвижной репер векторы которого можно выразить через векторы подвижного репера, соответствующего старой ортогональной криволинейной системе координат, по формулам

Коэффициенты образуют ортогональную матрицу, элементы которой зависят от точки (Можно сказать, что в каждой точке закон преобразования подвижного репера задается своей ортогональной матрицей.) Коэффициенты могут быть выражены через частные производные и коэффициенты Ламе старой и новой систем криволинейных координат (см. упр, 3 к этому параграфу).

Пусть теперь в некоторой ортогональной криволинейной системе координат дано тензорное поле, например поле тензора третьей валентности

Координаты эгого тензора будем вычислять в каждой точке относительно того локального подвижного репера, который присоединен к этой точке.

Если ортогональные криволинейные координаты переходят в другие такие же координаты по формулам (12), то векторы подвижного репера в точке М преобразуются по формулам (13), а тензор подвергается преобразованию по обычному тензорному закону:

где все компоненты тензора и все элементы матрицы преобразования берутся в одной и той же точке,

Поскольку, как было отмечено в § 1, в случае тензорного поля все алгебраические операции над тензором поля производятся по отдельности в каждой точке, то все такие операции автоматически переносятся и на случай тензорного поля в ортогональных криволинейных координатах: их следует производить в каждой точке относительно локального репера, который в данной системе коордииаг присоединен к этой точке.

о. Выясним теперь, как при переходе от одной ортогональной криволинейной системы координат к другой преобразуются величины

Поскольку из формулы (2) следует, что — координаты вектора относительно базиса то совокупность величин образует тензорное поле первой валентности и потому при переходе от одной ортогональной криволинейной системы коордииат к другой преобразуется по формулам

Далее, дифференцируя равенства (13) и пользуясь при этом соотношениями (5) и аналогичными соотношениями Для

получим

или, используя (13) и изменяя индекс суммирования на и первом слагаемом правой части, будем иметь

откуда в силу линейной независимости векторов

Умножим обе части этого равенства на и просуммируем но Тогда

или, используя, что окончательно получим

Отсюда видно, что величины преобразуются не по тензорному закону (имеются дополнительные члены которые, вообще говоря, не равны нулю, так как величины меняются от точки к точке).

Отметим, что если воспользоваться равенствами (2), то дифференциалы можно представить в виде

или, если принять обозначение

в виде

Из (15), используя равенства (6) и (16), будем иметь

Выражая формы через ну по формулам

обратным формулам (14), и учитывая, что что формы ну линейно независимы, окончательно получаем

Отсюда следует, что величины тоже не образуют тензора.

То, что величины и не образуют тензоров, можно подтвердить еще и следующими геометрическими соображениями. Ранее было показано, что эти величины в прямоугольной декартовой системе координат тождественно равны нулю, а в цилиндрической и сферической системах координат среди них есть отличные от нуля. Но для тензоров такого положения быть не может: если все координаты тензора равны нулю в одной системе координат, то то же самое будет, в силу линейного однородного закона преобразования тензора, и в любой другой допустимой системе координат.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)