§ 9. Колебания прямоугольной мембраны

25. Собственные функции.

Пусть мембрана в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми (рис. 32). Согласно результатам § 8 задача о колебаниях мембраны сводится к решению уравнения

с начальными условиями

и краевыми условиями, заданными на границе прямоугольника,

Рис. 32.

Поставленную задачу будем решать методом Фурье. Ищем решения уравнения (9.1), удовлетворяющие краевым условиям (9.3), в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:

Из первого условия (9.3) следует, что . Так как нас интересуют решения, не тождественно равные нулю, то . Аналогично составим и остальные условия, налагаемые на функции . Выписав их все вместе, получим:

Дифференцируем дважды функцию (9.4) по каждому из аргументов:

(как и раньше, аргументы у функций для сокращения записи опущены).

Подставляя выражения для производных в уравнение (9.1) и разделяя переменные, придадим ему вид

Левая часть равенства не зависит от переменных х и у, а правая часть — от переменной t. Поэтому оно может соблюдался только при условии, что ни левая, ни правая часш не зависят ни от одной из переменных, т. е.

Далее, так как отношение зависит только от , а — только от у, то сумма может быть постоянной лишь при условии, что каждое из этих слагаемых есть в свою очередь величина постоянная, т. е.

Обе последние постоянные выбраны отрицательными, так как в противном случае функции не могли бы удовлетворять краевым условиям (9.5). Доказательство этого было приведено в § 3 (стр. 58).

В резульше для отыскания функций получены уравнения:

(9.8)

Решения уравнений (9.6) и (9.7) имеют вид

Краевые условия приводят к соотношениям , где k — целое число. Только при соблюдении последнего требования уравнение (9.6) имеет нулевое решение. Аналогично из условий следует,

Собственные числа определяются формулами

где k и любые целые положительные числа. Каждой паре собственных чисел соогветавуюг собственные функции

Из (9.10) ясно, что если брать числа А и отрицательными, то новых собственных функций не получится. (Напомним, что, умножая любую из собственных функций на произвольную постоянную, будем снова получать решение уравнения (9.6) или (9.7) с нулевыми краевыми условиями.)

Перейдем к уравнению (9.8). Для каждой пары собствененных чисел — оно примет вид

Решение этого уравнения обозначим функцией с двумя индексами; произвольные постоянные, входящие в о общее решение, придется также обозначить буквами с двумя индексами: . Имеем

где — собственные частоты колебаний мембраны.

Составив произведение функций (9.10) и (9.11), образуем функции , удовлетворяющие уравнению (9.1) и краевым условиям (9.3). Каждой паре положительных чисел соответствует функция

Прежде чем переходить ко второй части метода Фурье — отысканию решения, удовлетворяющего начальным условиям, — выясним свойства функций (9.12).