11. Стоячие волны.

Прежде чем перейти к примерам, выясним физический смысл собственных функций определенных формулой (3.12). Перепишем ее в виде

где

и

Из формулы (3.18) видно, что все точки струны совершают гармонические колебания с одной и той же частотой и фазой . Амплитуда колебания зависит от абсциссы точки струны и равна

Рис. 17.

При таком колебании все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или иную сторону и одновременно проходят положение равновесия. Такие колебания струны называются стоячими волнами.

На рис. 17 показана форма струны в различные моменты времени для случая при этом неподвижными остаются только концы струны, а наибольшего отклонения достигает только точка . При неподвижных точек будет уже три: кониы и середина струны а точек, в которых отклонения будут достигать наибольшего значения, две (рис. 18).

Рис. 18.

Вообще стоячая волна будет иметь столько неподвижных точек, сколько корней имеет уравнение и в интервале . Таких точек будет их абсциссы:

Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Посередине между узлами располагаются точки, в которых отклонения достигают максимума; такие точки называются пучностями. Каждая струна может иметь собственные колебания лишь строго определенных частот Эти частоты называются собственными частотами струны. Наименьшей собственной частотой будет

где — натяжение, — плотность струны.

Когда струна колеблется, она издает звук, высота которого возрастает вместе с частотой колебаний. Если струна совершает собственные колебания, то самый низкий тон будет, когда частота равна . Из формулы (3.19) видно, что при этом звук тем выше, чем больше натяжение и чем короче и легче струна (т. е. чем меньше ).

Остальные тона, соответствующие частотам называются обертонами или гармониками. Если струна совершает свободные колебания, определяемые начальными условиями, то функция представляется, как это видно из формулы (3.13), в виде суммы отдельных гармоник. При этом характер звучания струны (тон, сила звука, тембр) будет зависеть от соотношения между амплитудами отдельных гармоник.

Рис. 19.

Основное назначение решения (3.13) как раз и заключается в том, что оно Позволяет произвести сравнение этих амплитуд.