§ 17. Задачи диффузии

51. Уравнение диффузии.

В процессе диффузии искомой функцией является концентрация диффундирующгго вещества, которую обычно обозначают через . Этот процесс во многом схож с распространением тепла, и в предположениях, аналогичных тем, которые мы делали в § 16 при выводе уравнения теплопроводности, функция удовлетворяет уравнению

тождественному с уравнением теплопроводности (16.10). Положительный коэффициент D называется коэффициентом диффузии. Он играет роль коэффициента а в теории теплопроводности. Начальное условие

задает начальную концентрацию. В качестве краевых условий рассматриваются главным образом условия

и

где Г — граница области, в которой происходит диффузия.

Условие (17.3) означает, что Г является непроницаемой для диффундирующего вещества стенкой, а условие (17.3") задает концентрацию на границе Г.

Линейные задачи диффузии в топкой трубке с непроницаемой стенкой:

и на конце или на концах или решаются при помощи методов, изложенных в §§ 13, 14 и 15. В соответствующих формулах следует только и заменить на с и а на .

В большинстве практически интересных задач коэффициент D является переменным. Это приводит к дальнейшему усложнению задачи. Мы рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая переменного коэффициента диффузии для линейных задач.

I. В первую очередь D зависит от температуры. Поскольку температура в условия задачи явно не входит, но закон зависимости температуры от времени, как правило, известей, то коэффициент диффузии может рассматриваться как функция времени: Уравнение диффузии становится уже уравнением с переменным коэффициентом:

Однако это уравнение легко привести к более простому виду, введя вместо независимой переменной t новую переменную:

Так как , то монотонно возрастает с t (а при также и ). Поэтому существует однозначная обратная функция так что концентрацию с можно считать функцией . Но

так

Поэтому уравнение (17.4) принимает простой вид:

т. е. вид уравнения теплопроводности с . Начальное условие не меняется: краевое условие также остается прежним.

II. Если отвлечься от изменения коэффициента диффузии со временем (например, если процесс диффузии происходит при постоянной температуре), то коэффициент диффузии D не обязан все же быть постоянным. Процесс диффузии может происходить в неоднородной среде, и тогда D будет зависеть от

Уравнение

значительно сложнее уравнения (17.4), так как в него входит вторая производная искомой функции по переменной от которой зависит коэффициент . Уравнение (17.5) уже не может быть сведено к уравнению с постоянным коэффициентом, его приходится решать приближенно. Одним из простых методов приближенного решения является замена кусочно-постоянной функцией. Для этого интервал изменения (всю ось, конечный интервал или полуось) разбивают на частичные интервалы и в каждом частичном интервале считают D постоянным: (в качестве можно взять значение ) в любой точке частичного интервала: . В каждом частичном интервале задача решается методами §§ 13—15 с краевыми условиями «склеивания» решения: если точка деления (граница двух соседних частичных интервалов), в ней концентрация с должна быть непрерывной.

Практически важным является и несколько более простой случай, когда диффузия прохедит через конечное число сред с разными коэффициентами диффузии (т. е. через кусочно-однородную среду), задачи подобного рода приведены в п. 53.

III. При достаточно больших концентрациях коэффициент диффузии зависит от самой концентрации:

Соответствующее уравнение

будет уже нелинейным и может быть решено только приближенно специальными методами.