61. Задача Дирихле для полупространства.

Для полупространства функция Грина имеет вид

где — произвольная точка полупространства точка, ей сопряженная. В этом случае

и границею Г служит плоскость

Действительно, при этом и функция - гармоническая при . Далее,

(так как внешняя нормаль к Г направлена вниз, в сторону офицательных z), а

Следовательно,

Граничные значения и здесь заданы на плоскости т. е. и по

Интеграл (19.11) называется интегралом Пуассона для полупространства. Если ввести в пространстве цилиндрические координаты, положив то формула (19.11) может быть записана в виде

(19.12)

Следует иметь в виду, что интегралы (19.11) и (19.12) несобственные и для их сходимости (тем более правильной) граничные значения должны достаточно хорошо вести себя на бесконечности, например быть ограниченными.

Ядро Пуассона для полупространства

физически может быть (по аналогии со случаем шара) интерпретировано как стационарное распределение температуры в однородном полупространстве на границе которого — плоскости — поддерживается температура 0 всюду, кроме точки этой плоскости, где она бесконечна.

Рис. 67.

Действительно, если квадрата и равно внутри этого квадрата (рис. 67), то по формуле (19.11)

где в пределе при мы получаем

т. е., опуская штрихи, ядро Пуассона для полупространства. Как следует из единственности решения задачи Дирихле,

т. е. интеграл от ядра Пуассона для полупространства по всей граничной плоскости равен 1.

Это может быть проверено непосредственно интегрированием.

Перейдем к примерам.

Пример 1. На границе однородного полупространства температура равна 0 для и равна 1 для Найдем стационарное распределение температуры в полупространстве.

По формуле (19.11)

Очевидно, что это выражение не зависит от так как замена приведет к выражению

Вычислим внутренний интеграл, обозначив для краткости и совершая подстановку

Тогда

Таким образом,

В этом случае температурное поле в каждой плоскости одно и то же. В разрезе плоскостью мы получим картину, изображенную на рис. 68.

Изотермами являются лучи, исходящие из начала координат; луч, наклоненный к положительному направлению оси под углом является изотермой . Изометрическими поверхностями служат плоскости, проходящие через ось .

Рис. 68.

Пример 2. На границе однородного полупространства поддерживается температура О всюду вне круга радиуса R с центром в начале координат, а внутри этого круга поддерживается температура 1. Найдем стационарное распределение температуры на положительной полуоси Здесь удобнее применить формулу (19.12). Ввиду осевой симметрии задачи искомая температура и не будет зависеть от и мы получим

На оси имеем поэтому подынтегральное выражение значительно упрощается. Интегрируя, получим

Температура таким образом, монотонно убывает до 0 при возрастании от до .

Для точек, не лежащих на оси т. е. при внутренний интеграл по может быть вычислен точно, однако интегрирование по приводит к интегралам, не берущимся в элементарных функциях, именно к эллиптическим интегралам.