44. Примеры.

Пример 1. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) оба торцевых сечения теплоизолированы, а начальная температура постоянна по стержню: Тогда мы имеем и w из (14.2) совпадает с из (14.5) — с так как в силу уравнений . Это — задача А, а по формуле (14.18А)

Следовательно, по формуле (14.17А)

(см. замечание к формуле (14.14)). Таким образом, мы получили физически очевидный результат: при полной теплоизоляции стержня постоянная начальная температура сохраняется в нем для всех .

Пример 2. При тех же условиях, что и в примере 1, предположим, что начальное распределение температуры

Тогда по формуле (14.18А) а для

Следовательно (учитывая замечание к формуле (14.14)), решением задачи будет (см. )

Рис. 52.

При все косинусы равны нулю, так что и для всех Кроме того, при замене на все косинусы меняют знак на обратный, так что при любом график и симметричен относительно точки (см. рис. 52). Поэтому для любого

(эта площадь, пропорциональная количеству тепла в стержне, заштрихована на рис. 52).

Теплоизоляция концов стержня находит свое выражение в том, что кривые распределения температуры при имеют горизонтальные касательные при При главным членом ряда является первый, так что

Как ясно и из физических соображений, при

Пример 3. При тех же условиях, что в примере 1, предположим, что начальное распределение температуры таково:

(см. рис. 53). Тогда , а для

Сделаем во втором интеграле подстановку и новую переменную интегрирования снова обозначим через тогда

Таким образом, отличными от нуля кроме будут те, для которых причем

Следовательно, как в предыдущем примере, получим

При все косинусы равны нулю, так что в этих точках . Для любого

Рис. 53.

Ясно также, что при каждом фиксированном t график и симметричен относительно прямой и что каждая его половина симметрична относительно, соответственно, точек . Поэтому для любого

(см. заштрихованную на рис. 53 площадь).

Для больших t

Пример 4. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) концы поддерживаются при постоянных температурах: (задача Б), а начальная температура постоянна по стержню: . Тогда и уравнения (14.3), которые можно записать в виде

превращаются в и по формуле (14.5)

Поэтому по формуле (14.17Б)

где (см. формулу (14.18Б))

Таким образом,

а

Рис. 54.

Чтобы по существу разобраться в полученном решении, заметим, что при следовательно, к линейному распределению температуры между температурами на концах (см. рис. 54, где принято . Для сравнительно малых график и должен резко спускаться из точки , примыкать к прямой и затем опускаться в точку ) (кривая ). Для больших

т. e. ордината графика и ниже ординаты соответствующей точки прямой, соединяющей точки на величину, пропорциональную : получается кривая (2).

Вид графиков и может резко меняться в зависимости от соотношения величин

Так, если (начальная температура равна среднему арифметическому температур концов), то и в выражении для останутся только слагаемые с четными индексами

и . В этом случае графики и симметричны относительно точки они изображены на рис. 55. Здесь для больших

Рис. 55.

Представляет интерес частный случай Тогда в сумме останутся только слагаемые с нечетными индексами и, полагая для определенности будем иметь

Графики симметричны относительно прямой они изображены на рис. 56 для возрастающих .

Заметим, что в этом примере количество тепла, содержащееся в стержне, изменяется с течением времени, хотя боковая поверхность стержня теплоизолирована: теплообмен с внешней средой происходит через торцевые сечения.

Например, в последнем рассмотренном случае тепло уходит из стержня через торцевые сечения в более холодную внешнюю среду.

Рис. 56.

Рис. 57.

Пример 5. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) концы поддерживаются при постоянной температуре , а начальная температура

(см. рис. 67, где принято ).

Показать, что

Провести исследование полученного решения для малых (кривая ) и больших t (кривая ). Найти приближенное выражение и для больших значений t и установить, что для них если если Аналогично исследовать случай

Пример 6. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) левый конец теплоизолирован: правый поддерживается при постоянной температуре: а начальная температура постоянна по стержню:

Рис. 58.

Это — задача В. Предварительно определим из уравнений (14.3) Так как здесь , то эти уравнения принимают вид и мы имеем (по формулам (14.2) и . Далее, по формуле

где по формуле (14.18В)

Таким образом, решением будет

(см. рис. 58, где принято ). Для больших t (кривая (3))

Пример 7. Пусть в условиях примера б

Показать, что тогда

Построить приближенно графики и для Пример 8. Пусть в условиях примера 6

Показать, что тогда

Построить приближенно графики и для случаев

Пример 9. Пусть в общем краевом условии Тогда в выражении и где — корень уравнения (частный случай уравнения 14.9)). Непосредственным, вычислением проверить, что функции ортогональны в интервале )

Пример 10. Пусть в общем краевом условии (14.8) . Показать, что в этом случае