18. Крутильные колебания вала с диском на одном конце.

Пусть один конец вала длины l закреплен, а на другой его конец насажен массивный диск, момент инерции которого относительно оси вала равен В начальный момент диск закручивается на малый угол а и отпускается без начальной скорости. Изучим характер возникающих при этом крутильных колебаний вала.

Сохраняя введенные выше обозначения, составим прежде всего начальные и краевые условия, которым должна удовлетворять функция, являющаяся решением задачи.

Чтобы найти рассмотрим рис. 26. Так как угол а мал, то, рассуждая так же, как при выводе формулы (6.1), получим соотношения — радиус вала)

откуда

Даяее, согласно условию

Поскольку конец вала неподвижен, то

Если бы диска на правом конце вала не было, то крутящий момент был бы просто равен нулю, так как внешние силы отсутствуют. Это привело бы к условию и решение в точности совпало бы с решением примера 1 п. 16 (см. стр. 87).

Рис. 26.

В нашем же случае надо приравнять нулю сумму крутящего момента и произведения момента инерции диска J, на его угловое ускорение (момент силы инерции диска):

Полученное условие удобно записать в виде

где

Итак, будем искать решение уравнения (6.4), удовлетворяющее условиям (6.6) - (6.9).

Запишем искомую функцию в виде подставим в уравнение (6.4) и разделим переменные:

(Предоставляем читателю доказать, что и здесь в силу условий, которые налагаются на функцию , постоянная в правой части равенства обязательно отрицательна.)

Функции являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений:

причем из (6.8) следует, что функция должна удовлетворять условию . Далее, из краевого условия (6.9) получим

и, заменяя, согласно уравнению (6.10), Т на придем ко второму условию, налагаемому на функцию

Заметим, что в рассматриваемой задаче постоянная X входит не только в дифференциальные уравнения, определяющие функции как это было во всех предыдущих случаях, но и в краевое условие, которому должна удовлетворять функция . Это приведет, как мы увидим в дальнейшем, к некоторому усложнению решения.

Решение уравнения (6.11) имеет вид

Из условия следует, что Второе условие для функции приводит к уравнению

Так как (иначе мы получаем тривиальное решение ) то для определения собственных чисел мы приходим к трансцендентному уравнению

или

Из формул, определяющих а и с, следует, что — напомним, что — момент инерции диска, а К — момент инерции единицы длины вала. Полагая и обозначая перепишем уравнение (6.13) в виде

Как мы сейчас покажем, это уравнение имеет бесчисленное множество корней; будем обозначав их Каждому корню соответствуют собственное число и собственная функция

Так как обе части уравнения (6.14) — нечетные функции относительно , то каждому положительному корню соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный. Поскольку изменение знака приводит к изменению знака , что не влечет за собой образования новых собственных функций (они только изменят знак, что несущественно), будем отыскивать только положительные корни сравнения (6.14).

Рис. 27.

Для этого построим графики функций (рис 27). Ясно видно, что эти графики имеют бесчисленное множество точек пересечения, т. е. что уравнение имеет бесчисленное множество корней . Пользуясь каким-нибудь способом приближенного решения уравнений, можно вычислить значения корней (при заданном ) с любой степенью точности. Из рис. 27 видно также, что при больших значениях k корни приблизительно равны

После того как собственные числа найдены, ищем соответствующие им решения уравнения (6.10):

Перемножая функции найдем решения уравнения колебаний (6.4), удовлетворяющие краевым условиям:

Как обычно, решение, удовлетворяющее начальным условиям (6.6) и (6.7), ищем в виде суммы:

Для определения неизвестных коэффициентов д и получаем два условия:

Из второго условия заключаем, что все

Заметим, что собственные функции неортогональны в интервале Поэтому мы не можем отыскивать пользуясь формулами Фурье для коэффициентов разложения в ряд по ортогональным функциям. В этом и заключается та сложность задачи, о которой говорилось выше. Оказывается, что это затруднение легко обойти, поскольку производные от собственных функций (т. е. функции ) уже образуют ортогональную систему. Действительно, при имеем

Воспользовавшись уравнением (6.13), корнями которого являются числа и найдем, что

Следовательно, при

Если же , то

Дифференцируя первое из условий (6.18), получим

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем по интервалу . Так как воспользовавшись равенствами (6.19) и (6.20), найдем, что

откуда

Заменим через придадим выражению для более удобный вид:

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (6.17), окончательно получим решение задачи:

Для того чтобы произвести числовые расчеты, нужно зиять корни уракнення (6.14). Отметим, что значения этих корней при различных значениях m можно найги в специальных таблицах.