35. Начальное и краевые условия.

Перейдем теперь к начальному и краевым условиям.

Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках стержня в некоторый момент, от которого ведется отсчет времени; обычно полагают, что в начальный момент тогда начальное условие имеет

где — данная функция.

Краевые условия должны выполняться там, где стержень может иметь теплообмен с окружающей средой, т. е. на торцевых сечениях стержня (напомним, что боковая поверхность тела но условию теплоизолирована). Пусть начало стержня совпадает с началом координат а его конец имеет абсциссу . Самый простой случай краевых условий тот, когда концы стержня поддерживаются при постоянной температуре. Это значит, что

где — заданные числа.

Возможны, однако, и более общие краевые условия, когда на торцевых сечениях стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Этот закон состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды, т. е. равен

где u — температура конца стержня, температура окружающей среды и h — коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств стержня и среды. Коэффициент h называется коэффициентом теплообмена (или еще коэффициентом внешней теплопроводности); мы будем считать его для данного торцевого сечения стержня постоянным.

Условимся также, что т. е. что поток тепла считается положительным, когда тепло уходит из стержня в окружающую среду и отрицательным в противоположном случае. Количество тепла, передаваемое со всею торцевого сечения за момент будет разно По закону сохранения энергии количество уходящего тепла должно быть в точности равно потоку тепла, проходящего через рассматриваемое торцевое сечение в силу теплопроводности стержня.

Согласно формуле (12.2) тепловой поток, проходящий через поперечное сечение стержня в направлении оси равен На правом конце стержня направление потока, идущего во внешнюю среду, совпадает с направлением оси и поток равен На левом конце эти направления противоположны и поэтому поток равен Мы также будем считать, что внешние среды могут быть на концах стержня разными, так что могут быть различными h и u; пусть на левом конце , а на правом . Тогда краевые условия на торцевых сечениях запишутся в виде

(12.10)

где — заданные температуры внешней среды, которые мы будем считать известными функциями времени, а в наиболее простом случае — постоянными величинами.

Если какой-либо конец стержня теплоизолирован, то соответствующий коэффициент теплообмена равен нулю и краевое условие на этом конце примет вид

Условия (12.8) также можно рассматривать как частный случай общих условий (12,10) при очень больших значениях коэффициентов теплообмена.

Записав, например, первое условие (12.10) в виде

и перейдя к пределу при получим первое из условий (12.8). Разумеется, можно рассматривать любую комбинацию краевых условий на разных концах стержня.

Подводя итоги сказанному в двух последних пунктах, мы можем следующим образом сформулировать математическую задачу теплопроводности для однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью без тепловых источников.

Отыскивается температура удовлетворяющая уравнению (12.4)

начальному условию (12.7)

и краевым условиям (12.10)

(или их частным случаям (12.8) и (12.11)).

В теории дифференциальных уравнений с частными производными доказывается, что эта задача всегда имеет единственное решение (при некоторых достаточно общих предположениях относительно заданных функций ),