52. Уравнения теплопроводности и диффузии с краевым условием, зависящим от времени.

До сих пор, рассматривая задачи теплопроводности с краевыми условиями для полубесконечного или конечного стержня, мы ограничивались случаями, когда температура внешней среды и была постоянной (см. стр. 174 и 197). Однако во многих важных задачах диффузии для кусочнооднородных сред приходится иметь дело и с такими краевыми условиями, когда концентрация вещества на границе (в терминах теплопроводности — температура конца стержня) является некоторой заданной функцией времени. Сейчас мы рассмотрим такую задачу, ограничиваясь случаем полубесконечной трубки (стержня). Имея в виду последующие примеры, будем считать, что трубка занимает интервал , где . Соответствующая задача формулируется так:

Найти решение уравнения диффузии (теплопроводности)

удовлетворяющее начальному условию

и краевому условию

где

Это — более сложная задача, чем те, которые решались нами в §§ 14 и 15, так как краевое условие неоднородно и непостоянно.

Для того чтобы ее решить, необходимо в первую очередь заменить краевое условие (17.8) однородным путем введения новой искомой функции

Тогда для уравнение (17.6) примет вид

начальное условие (17.7) сведется к

(17.11)

(поскольку при ), а краевое условие (17.8) — к

Таким образом, мы заменили однородное уравнение (17.6) с неоднородным краевым условием (17.8) неоднородным уравнением (17.10) с однородным краевым условием (17.12).

Рассмотрим теперь выражение

называемое сверткой функций . Чтобы найти производную свертки по t, воспользуемся правилом Лейбница (для дифференцирования интеграла от функции, зависящей от параметра, при условии, что пределы интегрирования также являются функциями этого параметра):

Частным случаем этого правила, когда а и b не зависят от t, является теорема, упомянутая в п. 2 введения. Производная свертки будет равна

Воспользуемся этой формулой, взяв в качестве любое решение однородного уравнения (17.6) и положив

(17.13)

Тогда

так что

Поскольку функция выбрана так, что она является решением уравнения (17.6), то подынтегральное выражение равно пулю при любом значении и, следовательно,

(17.14)

Пусть теперь функция удовлетворяет начальному условию

и краевому условию

(17.16)

Функция как решение уравнения (17.6) при условиях (17.15) и (17.16), может быть найдена из решения примера 2 п. 46. Для этого надо в формуле (15.8) положить

и заменить на Мы получим (рекомендуем читателю все выкладки провести самостоятельно)

где — интеграл вероятностей. Легко проверить, что при функция , а при функция Именно так следует понимать начальное и краевое условия. Тогда функция определенная формулой (17.13), примет вид

Согласно равенству (17.14) и условию (17.15) она является решением уравнения

а согласно (17.13) и (17.16) удовлетворяет условиям

Остается только положить

и задача решена.

Окончательно функция удовлетворяющая неоднородному уравнению (17.10) и условиям (17.11) и (17.12), будет иметь вид

или, после интегрирования но частям,

Так как (получается при ) и

то

Согласно формуле (17.9) окончательное решение поставленной задачи будет

(17,17)

Тот факт, что функция с удовлетворяет начальному и краевому условиям, следует понимать так: при функция с , а при функция . Проверка последнего условия наиболее важна, так как на первый взгляд из формулы (17,17) следует, что при функция равна нулю благодаря множителю перед интегралом. На самом же деле при интеграл становится расходящимся; это особенно ясно видно, если

Действительно,

и при правая часть обращается в . Таким образом, просто подставлять значение в формулу (17.17) нельзя. Чтобы все-таки проверить требуемое условие, преобразуем эту формулу, произведя замену переменной (как это уже неоднократно делалось раньше):

Тогда

Теперь видно, что при

(здесь мы воспользовались значением интеграла Пуассона).