5. Постановка начальных и краевых условий.

Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию наложить дополнительные условия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение часшого решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по заданным начальным условиям.

При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (или граничные).

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего Считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием

а начальная скорость

где — заданные функции.

Запись и означает, что функция взята при произвольном значении и при , т. е. аналогично . Такая форма записи постоянно применяется в дальнейшем; так, например, и т. д.

Условия (1.13) и (1.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны — в начале координат, а конец — в точке функция будет подчиняться условиям

С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежащей на двух опорах, под действием статической нагрузки.

Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.

Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию — уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что ) Ясно, что этим самым дальнейший характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. Придание точкам струны начальной скорости может быть осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре).

Сформулируем теперь окончательно математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами

при начальных условиях

и краевых условиях

Функции определены на интервале и, как это следует из первого условия (1.17) и условий (1.18),

Можно доказать, не опираясь на физические представления, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции f(x) и F(x), эта задача имеет единственное решение.

Примечание. Решение поставленной математической задачи будет отражать реальный характер процесса колебании лишь в том случае, когда начальное смещение и начальные скорости точек струны настолько малы, что соблюдаются все высказанные ранее предположения. Имея в виду в дальнейшем главным образом математическую сторону вопроса, мы при решении конкретных примеров обращать на это внимания не будем.