§ 13. Теплопроводность в бесконечном стержне

37. Метод Фурье для бесконечного стержня.

Рассмотрим тонкий длинный аеплопроводящпй стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована. Согласно результатам § 12 температура точек этого сгержня при отсутствии тепловых источников удовлетворяет уравнению

Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры; влияние температурных условий на концах стержня в течение довольно длительного времени почти не будет сказываться. В задачах такого типа стержень считают бесконечным.

Краевые условия при этом отпадают, и на искомую функцию накладывается только начальное условие

где функция определена на всей числовой оси Задача решения уравнения (13.1) при условии (13.2) называется задачей с начальным условием или задачей Коши.

Прежде чем решать уравнение (13.1) при начальном условии (13.2), мы несколько упростим задачу, введя вместо времени t новую переменную

Тогда

и уравнение (13.1) примет вид

не зависящий от физических свойств стержня. Так как при , то в качестве начального условия мы будем иметь

Чгобы решить эту задачу, применим метод разделения переменных и суперпозиции частных решений Фурье. Этот метод состоит из двух частей. Сначала мы находим частные решения уравнения (13.4), имеющие вид произведения двух функций, каждая только от одной из независимых переменных. Подставляя это произведение вместо а в уравнение (13.4), получим:

или

Обе частя этого уравнения должны быть постоянными, поскольку его левая часть не зависит от а правая — от , т. е. ни левая, ни правая части не могут зависеть ни от ни от т. В этом рассуждении — ключ к методу разделения переменных Фурье. Обозначим теперь постоянную, которой должны быть равны и левая и правая части равенства (13.6), через с.

Тогда уравнение (13.6) распадается на два уравнения:

Первое из них имеет общее решение

Поскольку ни в одном сечении стержня (т. е. ни при каком фиксированном ) температура не может неограниченно возрастать по абсолютной величине при (т. е. при ), с должно быть отрицательно. Положим с тогда

Второе из уравнений (13.7) принимает вид

и имеет общее решение

Таким образом, мы получим частное решение нашего уравнения (13.4):

или

где и . Здесь С, А, В, а следовательно , — произвольные постоянные; А также обозначает произвольное число.

Функция (13.8) являегся при любом фиксированном А решением уравнения (13.4), и мы можем, конечно, для каждого значения А выбирать разные постоянные . Это означает, что могут быть произвольными функциями от так что окончательно мы имеем семейство частных решений уравнения (13.4):

Тем самым первая часть метода Фурье завершена.

Вторая часть метода Фурье — суперпозиция полученных решений и, - состоит в следующем. Уравнение (13.4) линейное и однородное; оно имеет, как мы только что упановпли, бесчисленное множество частных решений, зависящих от непрерывно изменяющегося параметра А Согласно п. 2 введения, функция

(13.10)

также является решением уравнения (13.4).

Нам остается теперь только подобрать неизвестные функции a (А) и так, чтобы решение (13.10) удовлетворяло начальному условию (13.5), е. чтобы

(13.11)

Последнее равенство означает, что функцию надо разложить в интеграл Фурье (см. [1], гл. XII, § 3).

Напомним, что разложение функций в интеграл Фурье возможно, если функцию можно разложи в ряд Фурье в любом конечном интервале и если интеграл сходится, т. е., как говорят, функция абсолютно интегрируема на всей оси Оба условия выполняются во всякой физической задаче (функция ) — начальное распределение температуры).

Второе условие, т. е. сходимоаь интеграла означает конечность тепловой энергии стержня (так как гепловая энергия пропорциональна абсолюшой температуре).

Разложение функции в интеграл Фурье имеет вид

Tак как то интеграл Фурье можно переписать в виде

Сравнивая это разложение и формулу (13.11), заключаем, что реизвестные пока функции должны определяться по формулам:

Отметим, что из второго условия, наложенного выше на функцию вытекает, что и ограничены:

Найдя таким образом функции по формулам (13.12) и подставив их в решение (13.10), мы получим функцию

(13.13)

которая одновременно удовлетворяет и уравнению (13.4) и начальному условию (13.5). Эта функция (13.13) решает, следовательно, поставленную в этом параграфе аадачу о теплопроводности в бесконечном стержне.

Докажем, что интеграл (13.10), в котором функции и определены формулами (13.12), действительно является решением уравнения (13.4) для всех . Как было отмечено вьипе, функции ограничены; для всех , где . В этих предположениях

Далее,

и при соблюдении тех же условий

Совершенно аналогично получим, что

В правых частях неравенств, полученных для функции и ее производных, стоят функции, зависящие только от пара метра , причем интегралы от этих функций сходятся. Для до казательства этого напомним предварительно, что

Этот интеграл называется интегралом Пуассона (об его вычислении см. [1], п. 131). Интеграл вычисляется с помощью замены переменной. Полагая находим, что

Далее, интегрируя по частям, полагая получим

так как первое слагаемое стремится к нулю при

Таким образом, мы доказали, что как сам интеграл так и интегралы от частных производных подынтегральной функции сходятся правильно. Согласно п. 2 введения (см. мелкий шрифт на стр. 20) в этом случае функция (13.10) действительно является решением уравнения (13.4). Это справедливо для всех значений и для всех положительных значений .