7. Распространение волн отклонения.

Пусть начальные скорости точек струны равны нулю и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в формуле (2.8) надо положить и мы получим

Так как функция известна, то мы можем вычислить значение для любых и t. Согласно сказанному выше колебание слагается из двух волн: первая волна распространяется со скоростью а вправо (прямая волна), а вторая волна распространяется с той же скоростью влево (обратная волна).

Рис. 6.

В начальный момент времени профили обеих волн совпадают.

Предположим, что в начальный момент функция отлична от нуля только на некотором интервале . Для простоты изложения считаем функцию четной. Тогда при и при . Легко чисто геометрически проследить за изменением формы струны в любой момент времени. На рис. 6 в левом столбце изображена в различные моменты времени волна бегущий влево, а в правом столбце — в те же моменты времени волна бегущая вправо. В среднем столбце показана сумма этих волн, т. е. результирующее отклонение точек струны.

До тех пор, пока есгь участок, где обе волны накладываются друг на друга; начиная с момента эти волны уже не накладываются и расходятся в разные стороны.

Из сказанного можно сделать заключение о характере колебания точки струны с фиксированной абсциссой Если то в начальный момент точка струны лежит на оси абсцисс, она не участвует в начальном отклонении. Волна, бегущая вправо, дойдет до этой точки в момент времени и с этого момента точка струны начнет колебаться.

Как только волна пройдет через рассматриваемую точку, т. е. начиная с момента эта точка снова будет находиться в покое. В момент времени до точки доходит передний фронт волны, а в момен — задний фронт. Таким образом, рассматриваемая точка струны участвует в колебательном процессе при

Это неравенство удобнее записать так:

Если , то через точку проходят уже как прямая, так и обратная волны. Передний фронт обеих волн располагается задний фронт обратной волны пройдет через точку в момент , а задний фронт прямой волны — в момент При точка струны будет находиться в покое, т. е. лежать на оси . Аналогично, если то точка участвует в колебательном процессе при — если же то колебания закончатся, когда через точку пройдет задний фронт обратной волны, т. е. при .

Очень наглядное изображение описанного процесса можно получить, введя фазовую плоскость (рис. 7). Каждая точка фазовой плоскости (при ) соответствует точке струны с абсциссой в момент времени t. В частное , точки оси абсцисс соответствуют точкам струны в начальный момент времени.

Точкам, лежащим на прямой соответствует положение точек струны в фиксированный момент времени а точкам, лежащим на прямой положение фиксированной точки в различные моменты времени. Как мы уже видели, через точку в момент времени t проходит прямая волна, если — и обратная волна, если — Построим на фазовой плоскости прямые (на рис. 7 изображены части этих прямых, лежащие в верхней полуплоскости).

Рис. 1.

Эти прямые называются характеристиками.

При этом полуплоскость разбивается на шесть частей. Колебание происходит только в тех точках и в те моменты времени, которые соответствуют точкам зон и III. В зоне действует только прямая волна, в зоне III — только обратная, а в зоне та и другая. Точкам построенных прямых соответствуют положения переднего и заднего фронтов обеих волн. В точках, соответствующих зонам IV и V, колебания еще нет, так как до них не дошел передний фронт прямой (зона IV) обратной (зона V) волн, а в точках, соответствующих зоне VI, колебания уже нет, так как через них задние фрошы обеих волн уже прошли (оба задних фроша проходят только через точки фазовой плоскости, для которых через точки, для которых или проходит задний фронт только одной из волн). Зафиксировав какую-либо точку струны и поднимаясь вверх по прямой легко написать выражения для функции и в любой момент времени

Пусть . Тогда при точка фазовой плоскости находится в зоне IV и Если то точка попадает в зону II — зону действия прямой волны — и Второе слагаемое у равно нулю, так как аргумент при . Наконец, при точка попадает в зону VI и снова

Читатель легко проверит, что в точке где функция и будет принимать следующие значения:

Ясно, что при переходе одного интервала изменения t к другому функция оаается непрерывной.

Точно так же можно получить выражения для функции при фиксированных значениях t. При точка фазовой плоскости при движении слева направо пересечет последовательно зоны V, III, I, II и IV, а при вместо первой зоны она пройдет шестую. В первом случае получим

Рекомендуем читателю самостоятельно написать выражения для при

Описанный процесс представляет распространение одиночной волны отклонения; после прохождения такой волны точки струны возвращаются в свое исходное положение на оси абсцисс.

Как мы уже отмечали, такой процесс может наблюдаться в очень длинной струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее концов.

Перед тем как перейти к конкретному примеру, необходимо сделать одно важное замечание. Мы рассматриваем уравнение

с начальными условиями

Поэтому функция определяемая формулой (2.8):

только тогда будет решением уравнения, когда у нее существуют вторые производные по и по t. Для этого, как легко проверить, пользуясь сноской на стр. 35, функция должна иметь вторую производную, а функция - первую. Между тем часто приходится рассматривать задачи, в которых функции не удовлетворяют указанным условиям. Уже в следующем примере начальная форма струны будем иметь угловые точки (см. пример 1, рис. 8), в которых функция не имеет производной (см. п. 52). В последующем нам встретятся примеры, в которых функция определяющая начальные скорости, имеет точки разрыва.

Во всех таких случаях функцию определяемую формулой (2.8), мы все равно считаем решением задачи, несмотря на то, что при некоюрых значениях и i она может и не иметь соответствующих производных.

Это объясняется тем, что всегда можно, чуть-чуть изменив начальные условия, добиться того, чтобы функции стали достаточно гладкими, т. е. имели нужные производные.

Заметим, что реальные начальные условия всегда имеют именно такой сглаженный характер, так что придание им формы, изображенной на рис. 8, является дополнительной идеализацией процесса.

В то же время можно доказать, что малые изменения начальных условий влекут за собой малые же изменения решения. Поэтому решения, полученные при помощи сглаживания начальных условий, будут сколь угодно мало отличаться от тех, которые мы получаем по формуле (2.8), когда функции имеют точки разрыва или не везде дифференцируемы.

Рис. 8.

Вообще, если решение задачи единственно и непрерывно зависит от начальных условий, т. е. малые изменения последних влекут за собой малое изменение решения, то говорят, что решение задачи устойчиво или что задача поставлена корректно.

Учитывая это замечание, мы в дальнейшем при рассмотрении примеров никогда не будем требовать, чтобы начальные условия обязательно удовлетворяли условиям непрерывности и дифференцируемости.

Пример 1. Начальные отклонения точек струны имеют форму треугольника, изображенного на рис. 8, а начальные скорости равны нулю. Составим выражения для функции в разные моменты времени и при различных значениях

Функция имеет вид

В точках функция непрерывна, но не имеет производной.

Как мы уже видели, выражения для отклонения удобнее всего писать, рассматривая движение точки в фазовой плоскости. Здесь задача осложняется только тем, что при переходе аргументов и через нуль функции меняют свое выражение. Поэтому на фазовой плоскости мы дополнительно проводим прямые в точках которых и происходит указанное изменение.

Рис. 9.

Из рис. 9 видно, что точки струны, лежащие в интервалах по-разному переходят из зоны в зону (в силу четности функции ) мы рассматриваем только положительные значения . Проведя необходимые выкладки (рекомендуем читателю проделать их самостоятельно), получим выражения для функции

Если мы хотим получить форму волны в фиксированный момент времени, то должны выписать значения функции для трех интервалов времени: (Опять-таки, ограничиваемся значениями )

Во всех случаях функция u(x, t) непрерывна.

Советуем читателю построить формы струны в различные моменты времени по найденным формулам и чисто геометрически и сравнить полученные графики.