48. Начальное и краевые условия.

Перейдем теперь к начальному и краевым условиям. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках тела в некоторый данный момент, от которого ведется отсчет времени. В этот начальный момент поэтому полагают так что начальное условие принимает вид

(16.11)

где — данная функция, определенная и непрерывная во всех точках тела.

Краевое условие должно выполняться на поверхности ограничивающей тело. Вдоль Г тело граничит с окружающей средой, имеющей в каждой точке границы свою температуру Разность между температурой тела в точке границы и температурой окружающей среды в этой точке называется перепадом температур в точке границы. Существует физический закон, устанавливающий, что поток тепла изнутри тела через любую часть поверхности Г пропорционален перепаду температур на этой части границы.

Если выделить некоторую часть границы, то поток тепла через нее за время будет равен

где — рассматриваемая часть границы Г, a h — коэффициент теплообмена, зависящий от физических свойств тела и окружающей среды. Вообще говоря, h может изменяться от точки к точке границы, т. е. , но в случае однородности тела и среды . Поскольку поток тепла, уходящий в окружающее пространство, должен равняться потоку тепла, подходящему изнутри, то, применяя формулу (16.3) к участку получим

Так как — любая часть границы, то, повторяя рассуждения, обосновывающие равенство (16.8), придем к условию на границе Г:

Вспоминая, что где — производная и в точке границы по направлению внешней нормали к ней, запишем последнее равенство так:

(16.12)

Здесь черта подстановки означает, что имеется в виду значение соответствующей величины в точке границы Г.

Общее краевое условие (16.12) может в частных случаях иметь более простой вид.

Первый частный случай . Это означает, что переход тепла через границу тела исключен, т. е. что, как говорят, граница тела теплоизолирована. В этом случае краевое условие принимает вид

Второй случай соответствует очень большому коэффициенту внешней теплопроводности h. Тогда условие (16.12), записанное в виде

в пределе при приводит к равенству

(16.14)

выражающему тот факт, что на границе тело имеет температуру внешней среды.

Следует отметить, что разные части границы тела могу находиться в задачах теплопроводности в разных условиях, выраженных разными значениями h. Так, например, одна часть границы может быть теплоизолирована, а на другой температура тела может совпадать с температурой окружающей среды.

Подводя итоги, мы можем следующим образом сформулировать математическую задачу теплопроводности (для однородного тела без тепловых источников): ищется температура внутри тела, удовлетворяющая там уравнению (16.10), начальному условию (16.11) и краевому условию (16.12) (или условиям (16.13) или (16.14)). В теории дифференциальных уравнений в частных производных показывается, что эта задача имеет одно и только одно решение [при некоторых достаточно общих требованиях к заданным функциям следующих из условий (16.11) и (16.12)].

Перейдем теперь к решению этой задачи для простейших случаев.