53. Примеры.

Пример 1. В тонкой бесконечной непроницаемой трубке находятся две среды: с коэффициентов диффузии с коэффициентом диффузии . В момент в трубку при вводится («вспрыскивается») «погонная единица» диффундирующего вещества (т. е. такое количество, которое при равномерном распределении по единице длины трубки дает концентрацию, равную единице). Тогда в среде 1, т. е. для решением будет фундаментальное решение

Чтобы найтн решение в среде 2, мы должны для отрезка трубки поставить следующую задачу: найти решение уравнения диффузии

удовлетворяющее начальному условию

и краевому условию (условию «склеивания»)

Это в точности та задача, которая была нами решена в п. 52. По формуле (17.17)

где

При фактическом отыскании функции возникают серьезные затруднения, связанные с необходимостью численно вычислять несобственные интегралы.

Пример 2. В полубесконечной (непроницаемой) тонкой трубке конец закрыт непроницаемой перегородкой. В отрезке имеется постоянная концентрация в среде с коэффициентом диффузии . В отрезке трубки диффундирующего вещества нет (концентрация равна нулю); этот отрезок заполнен средой с коэффициентом диффузии При находится непроницаемая перегородка, которая в момент удаляется. С этого момента начинается процесс диффузии, в течение которого надо определить концентрацию с

Для участка трубки решение совпадает (с соответствующими изменениями) с решением примера 1 п. 46. Заменяя в формуле (15.5) на и на получим

При концентрация будет равна

и это значение служит (в силу условия «склеивания») краевым условием для концентрации на отрезке

Таким образом, мы должны решить для следующую задачу:

Эта задача совпадаетс задачей п. 52 при

Решение дается, как мы видели, формулой (17.17), т. е.