56. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай).

Здесь метод функции Грина также основывается на формуле Грина, аналогичной формуле (18.5), а именно:

(18.13)

где С — замкнутая кривая на плоскости, ограничивающая область — производные по направлению внешней нормали к С.

Эта формула может быть получена из формулы (18.5), примененной к цилиндру высоты 1, построенному на С как на направляющей с образующими, параллельными оси . Тогда, поскольку не зависят от ,

(плюс интегралы по основаниям цилиндра, которые, однако, равны нулю, так как на верхнем основании на нижнем

Отметим, что формула (18.13) может быть выведена из формулы Грина на плоскости.

Нам нужна обобщенная формула Грина, аналогичная формуле (18.6), а именно:

(18.14)

где — замкнутая кривая, лежащая внутри С, а — двухсвязная область, заключенная между кривыми и С.

Как и в пространственном случае под направлением вектора понимается направление внешней нормали к кривой (см. рис. 62).

Рис. 62.

Функция Грина на плоскости вводится теперь следующим образом. В качестве кривой С возьмем границу Г области для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, по фиксированную точку за контур примем окружность радиуса с центром в точке А. При этом мы предположим, что окружность целиком лежит внутри Г. Тогда между мы имеем область (заштрихованную на рис. 62).

Обозначим вновь через любю точку области D, отличную от А, и через расстояние между точками А и Р:

Проверим, что функция

является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению .

Действительно,

и

Аналогично

и

В этом можно также убедиться, если рассмотреть лапласиан в полярной системе координат с началом в точке А (см. (18.20); тогда , так как не зависит от

Отметим, что функция w — гармоническая в области Е (так как эта область не содержит точку А).

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле для области D с краевым условием

(18.15)

Функция — гармоническая уже во всей области D. (Различие между функциями w и было выяснено на стр. 233.) Тогда функция Грина для области D будет вид

(18.16)

Как и в трехмерном случае, функция Грина и здесь зависит от координат точек , и по определению (18,16) и условию (18.15)

(18.17)

Для искомой гармонической функции и, удовлетворяющей условию и функции запишем формулу (18.14), правая часть которой обратится в нуль (так как

причем в силу равенства (18.17)

Введем полярные координаты с началом в точке А.

Тогда на окружности справедливы соотношения

Учитывая все это, мы можем переписать формулу (18.18) в виде

так как

Поскольку правая часть равенства (18.19) не зависит от , то в левой части можно перейти к пределу при аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте (см. (18.11)). Подставим О из формулы (18.16); разбивая интеграл к левой части формулы (18.19) на два слагаемых и учитывая, что функции и, и их производные ограничены в области D, получим, что искомый предел равен

так как при

Поэтому

(18.20)

Эта формула дает, решение задана Дирихле на плоскости, если известна функция Грина