§ 6. Крутильные колебания вала

17. Уравнение крутильных колебаний.

Для того чтобы вывести дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала (круглого цилиндрическою стержня), напомним основные положения, лежащие в основе теории кручения круглых стержней, изучаемой в курсах сопротивления материалов. Согласно этой теории поперечные круговые сечения стержня при кручении остаются плоскими и сохраняют между собой первоначальные расстояния, радиусы, проведенные к этих сечениях, не искривляются.

Рис. 21

Таким образом, кручение круглого вала можно представить как результат сдвигов, вызванных поворотом поперечных сечений друг относительно друга, причем все повороты совершаются вокруг оси вала. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, действующие в плоскости сечения, а нормальные напряжения равны нулю. Так как касательные напряжения симметричны относительно центра поперечного сечения, то они приводятся к паре сил, момент которой называется крутящим моментом.

Поскольку нас интересуют только относительные повороты сечений, то любое из них можно принять за неподвижное. Будем считать, что неподвижен левый конец вала (как говорят, Левый конец заделан). Поместим начало координат в центр неподвижного сечения и направим ось абсцисс по оси стержня (рис. 24).

В результате закручивания вала поперечное сечение АВ, взятое на расстоянии от заделки, повернется относительно неподвижного сечения на некоторый угол зависящий сечение отстоящее от сечения АВ на расстояние повернется при эгоч на угол Таким образом, поворот сечения А В относительно сечения АВ будет равен

Рис. 25.

Вычислим сначала крутящий момент приложенный к сечению АВ. Выделим для этого отдельно участок вала, ограниченный сечениями АВ и А'В' (рис. 25), сдвинутыми друг относительно друга на угол Возьмем произвольный элемент площади расположенный на расстоянии от центра сечения, и определим величину напряжения , вызванного сдвигом элементарного волокна в положение . Считая, что мы находимся в пределах применимости закона Гука, получим

где — угол сдвига волокна, а — постоянная для данного материала величина, называемая модулем сдвига. В силу малости угла дугу можно принять за хорду, и тогда

С другой стороны, дуга равна

и, следовательно,

Таким образом, напряжение прямо пропорционально расстоянию рассматриваемого волокна от центра сечения. Усилие, приходящееся на площадку выразится произведением

Обозначая через элементарный закручивающий момент, приложенный к элементу получим

Величину искомого момента найдем, интегрируя выражение (6.2) по площади сечения АВ:

как для всех точек поперечного сечения величина одна и та же, то ее можно вынести за знак интеграла; тогда

где — полярный момент инерции поперечного сечения АВ относительно его центра.

Перейдем к выводу дифференциального уравнения крутильных колебаний вала, рассматривая по-прежнему элементарную часть его, заключенную между сечениями АВ и . По второму закону Ньютона, примененному к вращательному движению тела вокруг оси, произведение момента инерции тела относительно оси на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно оси вращения.

Угол поворота сечения зависит теперь уже как от абсциссы , так и от времени t, т. е. . Угловое ускорение элементарного участка вала будет равно

Если через К обозначить величину момента инерции вала относительно оси вращения, приходящуюся на единицу его длины, то момент инерции рассматриваемого участка будет равен . Момент внешних сил найдем как разность крутящих моментов, приложенных к сечениям АВ и АВ.

Согласно формуле (6.3), в которой заменено на

Таким образом, мы выразили все величины, входящие в закон Ньютона. Применяя его, получим

или

где

Таким образом, дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала, так же как и продольных колебаний стержня, полностью совпадает с уравнением колебаний струны. Однако обычно встречающиеся конкретные задачи приводят к иным краевым условиям, нежели те, которые были рассмотрены в §§ 3 и 5. Так как вал однородный, то, обозначая его плотность через и учитывая, что К — момент инерции единицы длины вала, найдем

Отсюда

Примечание. В то время как уравнение продольных колебаний выведено для любых призматических стержней, уравнение крутильных колебаний применимо только для круглых стержней (валов). Для некруглых стержней, как мы уже отмечали, задача становится значительно более сложной.