Начальные условия (9.2) имеют вид
Следовательно, в решении (9.13) все коэффициенты а 
Коэффициенты 
найдем по формуле (9.17), полагая в ней
Двойной интеграл разбивается на произведение двух обыкновенных интегралов, и мы получим
Если хотя бы одно из чисел k или 
четно, то 
так как тогда по крайней мере одна из скобок равна нулю. Поэтому нужно считать, что 
числа. При этом
и решение примет вид
Гак как знаменатели у коэффициентов 
быстро возрастают, то ряд хорошо сходится и для вычисления значений функции 
придется брать очень небольшое число его членов.
. Как обычно, будем искать его в виде ряда, составленного из частных решений (9.12). Каждое частное решение зависит от двух индексов: 
, поэтому нам придется образовать двойную сумму
пробегать все положительные числа независимо друг от друга, мы тем самым учтем все частные решения вида (9 12). Подставляя значение 
в функцию 
и в производную получим:
и покажем, что в области 
она ортогональна. Это значит, что двойной интеграл, взятый по области D от произведелия двух различных функций системы, равен нулю.
ортогональна в интервале 
а система 
— в интервале 
(см. стр. 59), то написанное выражение равно нулю, если соблюдается хотя бы одно из неравенств 
. Если же 
, то
, чтобы они могли быть разложены в двойные ряды Фурье. В практически встречающихся задачах они всегда выполняются.
в формулу (9.13), завершим решение задачи.
всем точкам которой приданы одинаковые начальные скорости 
(Разумеется, это не касается неподвижно закрепленных точек контура мембраны.
