27. Вторая часть метода Фурье.

Двойные ряды Фурье.

Вернемся теперь к задаче отыскания решения, удовлетворяющего начальным условиям . Как обычно, будем искать его в виде ряда, составленного из частных решений (9.12). Каждое частное решение зависит от двух индексов: , поэтому нам придется образовать двойную сумму

Заставляя индексы суммирования пробегать все положительные числа независимо друг от друга, мы тем самым учтем все частные решения вида (9 12). Подставляя значение в функцию и в производную получим:

Формулы (9.14) и (9.15) представляют разложения функций двух переменных в двойные ряды Фурье. С подобным разложением мы сталкиваемся впервые и поэтому рассмотрим его подробнее. Возьмем систему функций и покажем, что в области она ортогональна. Это значит, что двойной интеграл, взятый по области D от произведелия двух различных функций системы, равен нулю.

Действительно,

Поскольку система функций ортогональна в интервале а система — в интервале (см. стр. 59), то написанное выражение равно нулю, если соблюдается хотя бы одно из неравенств . Если же , то

Исходя из установленных соотношений, легко найти все коэффициенты разложений (9.14) и (9.15). Формулы для их отыскания совершенно аналогичны обычным формулам Фурье:

Мы не останавливаемся на тех условиях, которые надо наложить на функция , чтобы они могли быть разложены в двойные ряды Фурье. В практически встречающихся задачах они всегда выполняются.

Подставив выражения для коэффициентов в формулу (9.13), завершим решение задачи.

Пример. Найдем колебания квадратной мембраны всем точкам которой приданы одинаковые начальные скорости (Разумеется, это не касается неподвижно закрепленных точек контура мембраны.

Начальные условия (9.2) имеют вид

Следовательно, в решении (9.13) все коэффициенты а Коэффициенты найдем по формуле (9.17), полагая в ней

Двойной интеграл разбивается на произведение двух обыкновенных интегралов, и мы получим

Если хотя бы одно из чисел k или четно, то так как тогда по крайней мере одна из скобок равна нулю. Поэтому нужно считать, что числа. При этом

и решение примет вид

Гак как знаменатели у коэффициентов быстро возрастают, то ряд хорошо сходится и для вычисления значений функции придется брать очень небольшое число его членов.