§ 4. Вынужденные колебания и колебания струны в среде с сопротивлением

13. Вынужденные колебания струны.

Методы, развитые в § 3, позволяют решать и задачу о вынужденных колебаниях струны. Эта задача приводит к неоднородному уравнению колебаний (см. § 1)

(мы обозначили через функцию , где — плотность струны, — плотность распределения внешних сил. Начальные и краевые условия примем такими же, как и для случая свободных колебаний:

Так же как и при решении обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений будем искать решение уравнения (4.1) в виде суммы двух функций:

Функцию выберем так, чтобы она удовлетворяла однородному уравнению и условиям

Тогда функция должна удовлетворять неоднородному уравнению

и нулевым начальным и краевым условиям

Легко проверить, что при таком выборе функций их сумма (4.2) будет являться искомым решением.

Функция описывает свободные колебания струны, происходящие только вследствие придания точкам струны начальных отклонений и скоросгей.

Функция описывает вынужденные колебания, которые совершаются под действием внешних сил при отсутствии начальных возмущений.

Поскольку функцию мы уже умеем отыскивать (см § 3), то займемся теперь только ошсканием решения неоднородного уравнения — функции

Вудем искать функцию в виде ряда по собственным функциям однородной задачи:

где — не определенные пока функции от t. Прежде всего заметим, что функция действительно удовлетворяет краевым условиям так как все собственные функции обращаются в нуль при Чтобы функция удовлетворяла и нулевым начальным условиям, достаточно считать, что Запишем уравнение (4.3) в виде

и заменим функцию рядом (4.4). Тогда получим

Разложим теперь функцию в интервале (0, I) в ряд по синусам но аргументу (это производится точно так же, как в разложение в ряд Фурье функции одной переменной, но только коэффициенты разложения будут являться функциями переменной )

где

(При интегрировании t счигается постоянный.)

Если, в частности, плотность распределения внешних сил не зависит от времени, то функция не зависит от t, т. е. и формула (4.6) представляет собой обычное разложение в ряд Фурье по синусам. В этом случае функции постоянны.

Если же функция не зависит от , а зависит только от времени то функции будут равны

Приравнивая в разложениях (4.5) и (4.6) коэффициенты при собственных функциях, составим дифференциальные уравнения для отыскания неизвестных функций

К полученному неоднородному уравнению второго порядка следует присоединить установленные выше начальные условия

Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (4.9), имеет вид

Решение неоднородного уравнения (4.9) в случае, когда функция имеет специальный вид (в частности, постоянна), может быть найдено методом неопределенных коэффициентов; при произвольной правой части решение следует искать методом вариации произвольных постоянных (см. [1], пп. 171 и 172).

Пользуясь этим методом, можно показать, что при любой правой части решение уравнения (4.9) с начальными условиями (4.10) дается формулой

Выводить эту формулу мы не будем, и рекомендуем читателю сделать это самостоятельно.

После того как все функции найдены, остается подставить их в формулу (4.4), и мы получим искомую функцию

Пример 1. Найдем вынужденные колебания струны, на которую в момент времени начинает действовать постоянная сила, равная силе тяжести.

В этом случае функция и задача сильно упрощается, поскольку все коэффициенты разложения (4.6) постоянны. По формуле (4.8)

откуда

Функции тождественно равны нулю, так они удовлетворяют однородному уравнению

с нулевыми начальными условиями

Для функций с нечетными индексами уравнение (4.9) принимает вид

Частное решение неоднородного уравнения находится сразу; это есть постоянная величина, равная следовательно, общим решением уравнения (4.12) будет функция

Подставляя начальные условия, находим произвольные постоянные

Итак, функции найдены:

Подставляя полученные выражения в формулу (4.4), получим решение описывающее вынужденные колебания струны, совершающиеся под действием силы тяжести:

(Знак минус указывает на то, что в начале колебания точки струны отклоняются вниз.) Каждая точка струны совершает сложное периодическое колебание с периодом В моменты времени все точки «руны проходят положение равновесия. Легко заметить, что наибольшие отклонения от положения равновесия будут наблюдаться для середины струны в моменты времени можно установить и аналитически: при обе частые производные и обращаются в нуль.) Поскольку

то

Известно, что

следовательно,

Пример 2. Найдем вынужденные колебания струны без начальны смещений и скоростей, если на струну действует равномерно распределенная сила с плотностью зависящей от времени ( — линейная плотность струны).

В этом случае функция не зависит от и по формуле (4.8) мы получим

Как и в предыдущем примере, замечаем, что . Функции же находим по общей формуле (4.11):

Вводя обозначение и производя все необходимые вычисления, получим, что

Найденное выражение имеет смысл для любого только в случае, если частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из нечетных собственных частот струны (отсутствует резонанс).

Подставляя выражения для в общую формулу (4.4), яавершаем решение задачи:

Рекомендуем читателю самостоятельно установить, что если Для какого-нибудь k имеет место равенство то соответствующее слагаемое в выражении надо заменить на