ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

§ 1. Уравнение колебаний струны

4. Вывод уравнения колебаний струны.

Пусть конечные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывесги струну из положения равновесия (например, оттянугь ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости.

Рис. 1.

Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси , то и будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина отклонения и будет зависеть от абсциссы точки струны и от времени t. Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти зависимость и от х и t, т. е. найти функцию . При каждом фиксированном значении t график функции представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 1), частная производная дает при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x.

При изменении t форма струны, очевидно, изменяется, и, чтобы представить себе процесс колебаний, мы должны построить несколько графиков функции при различных значениях t, т. е. сделать несколько мгновенных снимков колеблющейся струны. При постоянном значении функция дает закон движения точки с абсциссой вдоль прямой, параллельной оси производная — скорость этого движения, а вторая производная - ускорение.

Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение, коюрому должна удовлетворять функция Для этого саслаем предварительно несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону какой-либо ее точки, сила натяжения Т, заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне Струпа предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; изменение величины силы натяжения при этом пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна-, линейную плотность ее обозначим буквой (—масса единицы длины с i руны).

Предположим, далее, что на струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси которые могуг меняться вдоль струны и со временем. Силы эти будем считать непрерывно распределенными вдоль струны; величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз — отрицательной. Плотность распределения этих сил вдоль струны является функцией абсциссы и времени t; обозначим ее через Если, в частности, единственной внешней силой является вес струны, , где — плотность струны, a g — ускорение силы тяжести.

Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, мы пока пренебрегаем.

Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через острый угол между осью абрцисс и касательной к струне в точке с абсциссой в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной можно пренебрегать:

Поскольку разложение функции в ряд Маклорена имеет вид

то в силу условия (1.1) можно считать, что

(1.2)

Далее, и, следовательно,

И наконец, , и

(1.4)

Рис. 2.

Так как то в силу полученных условий заключаем, что

Отсюда сразу следует, что в процессе колебания мы можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина участка в момент времени t (рис. 2) равна

Согласно (1.5) заключаем, что

Покажем теперь, что при наших предположениях величину силы натяжения Т можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от времени t.

Рис. 3.

Рис. 4.

Возьмем для этого какой-либо участок струны (рис. 3) в момент времени t и заменим действие отброшенных участков силами натяжений . Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси и внешние силы также параллельны этой оси, то сумма проекций сил натяжения на ось Ох должна равняться нулю:

(1.8)

Отсюда в силу (1.3) заключаем, что . Так как точки и выбраны произвольно, то это и доказывает, что в данный момент времени силы натяжения во всех точках равны между собой.

Поскольку мы пренебрегаем изменением длины любого участка струны, то в силу закона Гука неизменным остается и натяжение струны. Итак, мы показали, что в пределах выбранной точности Т есть величина постоянная:

Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны. Выделим бесконечно малый участок струны проектирующийся в интервал оси абсцисс (рис. 4). На него действуют силы натяжения , заменяющие влияние отброшенных частей струны.

Как уже отмечалось выше, силы направлены по касательным к струне в точках и величина сил постоянно равна . Согласно равенству (1.8) сумма проекций сил на ось равна нулю. Вычислим сумму проекций этих же сил на ось

В силу (1.4) можно записать, что

Следовательно,

Здесь мы заменили частное приращение производной при переходе от аргументов к аргументам ее частным дифференциалом, т. е.

Примечание. Если бы участок струны располагался, как на рис. 2, то сумма проекций сил равнялась бы но теперь и в результате мы снова получили бы формулу (1.10).

Равнодействующую внешних сил, приложенных к участку в момент времени t, обозначим через F. Согласно определению функции и приближенному равенству (1.7) можно считать, что

Направление равнодействующей F определится знаком функции (направление F на рис. 4 соответствует случаю ).

После того как найдены все силы, действующие на участок применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил (в силу малости участка мы рассматриваем его просто как материальную точку)

Так как масса участка струны равна то, используя формулы и (1.11), получим

Сократив на и разделив все члены равенства на , приведем полученное уравнение к виду

( положительная постоянная величина). В результате мы получили линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение (1.12) называется уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Это одно из простейших и в то же время важнейших дифференциальных уравнений математической физики. Как мы позже увидим, к нему сводится не только рассматриваемая задача, но и многие другие.

Если уравнение (1.12) называется однородным; оно описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Если не тождественно равно нулю, то уравнение называется неоднородным, в этом случае рассматриваются вынужденные колебания струны. Когда на струну действуют только силы тяжести, а натяжение струны велико, мы вправе пренебречь вторым слагаемым в правой части уравнения струны по сравнению с первым и рассматривать, таким образом, колебания струны как свободные.

Читатель, конечно, обратил внимание на то, что вывод уравнения колебаний струны (1.12) сопровождался целым рядом допущений как механического, так и геометрического порядков. Гакое же положение, разумеется, имеет место и при выводе дифференциальных уравнений (как в частных производных, и обыкновенных) других задач математической физики. Вопрос о том, насколько точно уравнение описывает физический процесс, может быть решен только сравнением результатов, полученных при решении уравнения и экспериментальным путем. В настоящей книге этим вопросом мы занимался не будем, чтобы сосредоточить основное внимание на методах решения уравнений.

В связи со сказанным уместно сделать следующее замечание. Хорошо известна роль моделей при изучении различных вопросов техники Например, гидротехники при проектировании плотины часто строят в значительно уменьшенном размере ее модель, чтобы, производя опыты над ней в лабораторных условиях, сделать некоторые заключения о характере усилий, действующих на реальную плотину Такую же роль играют модели проектируемых мостов, крыльев и фюзеляжа самолетов и др. Разумеется, данные, полученные при исследовании моделей, нельзя просто переносить на реальные обьекты. Ведь в лаборатории нельзя создать все условия, которые могут встретиться в действительности, да и, кроме того, явления, происходящие при исследовании модели, далеко не всегда в точности копируют соответствующие явления в природе. Однако наиболее существенные черты процесса все-таки часто удается уловить, и дальнейшая эадача проектировщика в том и состоит, чтобы увязать наблюденные на модели факты с теми, которые встретятся в натуре.

Подобную же роль в физике играет и изучение дифференциальных уравнений математической физики. Учитывая основные закономерности физического процесса, мы создаем его математическую модель. Изучение этой модели и позволяет делать определенные суждения о характере процесса. Образно говоря, в настоящей книге мы знакомим читателя только с основными методами изучения математических моделей, оставаясь, так сказать, в «лабораторных условиях математики».