36. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность.

Сформулируем задачу теплопроводности в стержне при условии теплообмена с внешней средой через боковую поверхность. Правда, здесь предположение постоянства температуры любому сечению в каждый момент времени является физически менее оправданным, поскольку в этом случае вблизи контура сечения температура должна меняться довольно резко.

В эти задаче дифференциальное уравнение имеет уже вид, отличный от (12.4). Для вывода этого уравнения обозначим через S площадь поперечного сечения стержня, через — периметр поперечного течения и рассмотрим произвольный отрезок стержня от сечения с абсциссой до сечения с абсциссой Как было установлено в п. 34, количество тепла, сообщенное выбранному участку стержня за промежуток времени в результате продан хождения вдоль стержня теплового потока, равно закону Ньютона количество тепла, поступающего в отрезок стержня через боковою поверхность за этот же промежуток времени, равно

где — площадь боковой поверхности, h — коэффициент тепло» обмена и — температура внешней среды. Составляя уравнение теплового баланса, получим

где правая часть представляет тепло, благодаря которому температура точек стержня изменилась на Разделив обе части равенства на приведем уравнение к виду

где — коэффициент температуропроводности, а Если т. е. боковая поверхность стержня теплоизолирована, то мы вновь получаем уравнение (12.4). Начальное и краевые условия для уравнения (12.12) формулируются так же, как и для уравнения (12.4) (см. п. 35). Важно отметить, что в случае постоянной температуры внешней среды, т. е. в практически наиболее интересном случае, уравнение (12.12) с помощью замены неизвестной функции может быть сведено к уравнению (12.4). Действительно, пусть . Можно считать, что так как иначе нам достаточно было бы начать отсчет температуры от значения и, что равносильно введению новой функции . Легко проверить, что при такой замене уравнение (12.12) приобретает вид

(12.13)

Полагая , где v — новая искомая функция, найдем, что

Подставляя в уравнение (12.13), получим

или, после сокращения,

Начальное условие для функции сохраняется, так так

Краевые условия изменятся и, например, случая постоянства температуры на концах стержня (см. (12.8)) примут вид

(12.15)

Здесь правые части явмются же не постоянны величинами, а известными функциями времени t. Меюд решения таких задач будет указан в п. 52.