30. Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка.

Рассмотрим теперь уравнение несколько более Общего вида

(10.10)

и покажем, что оно сводится к уравнению Бесселя нулевого порядка. Введем для этого вместо новую независимую переменную . Тогда

После подстановки производных в уравнение (10.10) множитель сократится, и мы придем к уравнению (10.2) с новой независимой переменной :

Его частным решением являйся функция Бесселя следовательно, решением уравнения (10.10) будет функция

Пусть теперь последовательно принимает значения положительных корней функции Бесселя

Последовательность функций будет удовлетворять на интервале [0, 1] следующим условиям ортогональности.

Эти условия ортогональности отличаются от обычных только тем, что под интегралом содержится еще множитель (в таких случаях часто говорят об «ортогональности с весом»).

Докажем условия (10.11). Функции удовлетворяют уравнению (10.10) при X, соответственно равных

Умножим первое из равенств на второе на и вычтем одно из другого:

Полученному равенству можно придать вид

(рекомендуем читателю проверить это самостоятельно).

Интегрируя последнее равенство по в пределах от 0 до 1, получим

(10.12)

До сих пор мы не дела никаких предположений относительно чисел . Пусть теперь где два различных положительных корня уравнения Тогда в результате подстановки пределов выражение в фигурных скобках обратится в нуль, так как поскольку окончательно заключаем, что

Чтобы доказать второе из соотношений (10.11), положим в равенстве (10.12; перепишем ею в виде

(10.13)

Мы учли, что Будем считать переменной величиной и заставим ее стремиться к . Числитеть и знаменатель в правой части равенства (10.13) стремятся при этом к нулю поэтому для отыскания предела мы воспользуемся правилом Лопиталя

Левая часть равенства (10.13) при обращается в иитересующий нас интарал так что и второе соотношение (10.11) доказано.