40. Примеры.

Пример 1. Пусть начальное распределение температуры

(см. рис. 47).

Тогда в качестве решения по формуле (13.17) мы получим

(13.23)

Эта функция выражается через одну важную специальную функцию, называемую интегралом вероятностей:

(13.24)

Действительно, полагая в нашем решении найдем, что

Остановимся на свойствах функции функция нечетная: . Действительно,

Последнее равенство следует из того, что подынтегральная функция четная.

Далее, если , то стремится к интегралу . Следовательно,

График функции изображен на рис. 48; для этой функции имеются специальные таблицы

Исходя из свойств функции нетрудно проверить, что функция (13.25) действительно удовлетворяет начальному условию.

Рис. 48.

Рис. 49.

Если или то оба аргумента и при одновременно стремятся или к (при ), или при , в обоих случаях значения функций, стоящих в квадратых скобках формулы (13.25), стремятся к одному и тому же пределу или , а их разность — к нулю.

Если же то первый аргумент стремится к а второй к ; выражение в скобках при этом стремится к , т. е.

Наконец, если или (точки разрыва начального распределения температур), то при температура

Пример 2. Псть начальное распределение температуры

(см. рис. 49). Тогда формула (13.17) дает

Полагая вновь преобразуем решение к виду

Полученное решение имеет довольно громоздки вид, но оно позволяет судить о поведении температуры в стержне. Легко проверить, что оно является четной функцией от что начальное условие выполняется и что при в любой точке . Установим, как понижается температура в точке

где . Покажем, что полученное выражение для и может быть преобразовано следующим образом. Заметим, что производная выражения, стоящего в прямых скобках, равна

кроме того, само это выражение стремится к 0 при , так как . Поэтому

Поскольку Ддя больших t, т. е. малых значений верхнего предела

Пример 3. Показать, что если , то

показать, что в тех точках стержня, в которых кривая начального распределения температуры выпукла температура монотонно убывает к нулю с возрастанием t, а в тех точках, эта кривая вогнута температура сначата повышается до а затем уже монотонно убывает к нулю.

Пример 4 Показать, что если , то

покэзатц что

для больших