42. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов.

В п. 35 мы уже видели, что краевые условия значительно упрощаются, если концы стержня либо теплоизолированы, либо поддерживаются при постоянной температуре. В случае теплоизоляции какого-либо конца надо соответствующий коэффициент теплообмена положить равным нулю, а в случае постоянства температуры устремить этот коэффициент к бесконечности.

При этом мы условимся говорить об одинаковом режиме на концах стерэюня, если они оба либо теплоизолированы, либо поддерживаются при постоянной температуре, и о разном режиме, если один из них (для определенности левый: теплоизолирован, а другой (правый: поддерживается при постоянной температуре.

Пусть сначала концы стержня находятся при одинаковом режиме. Если они теплоизолированы, то и уравнение (14.9) примет вид

Чтобы рассмотреть случай постоянства температуры на концах, разделим числитель и знаменатель правой части формулы (14.9) на произведение

Переходя к пределу при замечаем, что снова получаем условие

Итак, в случае одинакового режима на концах стержня X должно являться корнем уравнения

(14.10)

Пусть режим на концах разный. Если, скажем, , то — или . При получается уравнение

Поменяв ролями мы снова придем к этому же уравнению

Таким образом, в случае разного режима на концах стержня должно удовлетворять уравнению

Начнем со случая одинакового режима; должно быть корнем уравнения (14.10), т. е. должно быть

где п — любое целое число. Таким образом, может принимать только значения из бесконечной последовательности

(14.12)

Эти значения называются собственными числами задачи. Отметим, что мы не учитываем отрицательных значений потому, что в решении (14.7), куда мы должны подставить знак не играет никакой роли (в показатель число входит в квадрате, четная функция от , а знак синуса может быть включен в произвольную постоянную ).

В случае разных режимов должно удовлетворять уравнению (14.11), т. е. собственными числами в этой задаче являются

(14.13)

(отрицательные значения X мы не учитываем по указанным выше соображениям).

Каждому из собственных чисел будут соответствовать свои коэффициенты и в формуле (14.7).

Таким образом, решения уравнения (14.6), удовлетворяющие поставленным краевым условиям, должны иметь вид

(14.14)

где связаны соотношением

В частности, если если (в этом мы еще непосредственно убедимся ниже).

Ввиду того, что в дальнейшем выражение из формулы (14.14) будет фигурировать в качестве общего члена ряда Фурье, условимся, что при это выражение мы будем заменять на .

Рассмотрим подробнее все три решаемые нами задачи.

Задача А. Оба конца теплоизолированы.

Задача Б. На обоих концах поддерживается постоянная температура.

Задача В. Левый конец теплоизолирован, а правом конце поддерживается постоянная температура.

В задачах А и Б собственные числа и

Но в задаче А должно быть

в краевых условиях (14.4)), откуда вытекает, что . Таким образом, уравнению и краевым условиям задачи А удовлетворяют функции

В задаче Б должно быть

в краевых условиях (14.4)), откуда следует, что . Таким образом, уравнению и краевым условиям задачи Б удовлетворяют функции

Наконец, в задаче В собственные числа и

Здесь мы должны иметь

откуда вытекает, что Таким образом, уравнению и краевым условиям задачи В удовлетворяют функции

Решения однородного уравнения (14.6) удовлетворяют соответствующим, и гоже однородным, краевым условиям задач . Следовательно, сумма ряда, сомтавленного из этих решений,

(14.16)

также удовлетворяет и уравнению и соответствующим краевым условиям.

Заметим, что выделение с помощью краевых условий последовательности собственных чисел каждой задачи существенно отличает эти задачи от задачи Коши без краевых условий, которую мы решили в предыдущем параграфе для бесконечного стержня. Там А оставалось произвольным и, чтобы использовать все полученные частные решения, нам надо было интегрировать их по А. Здесь А может пробегать только последовательность собственных чисел, и мы должны суммировав частные решения по всем собственным числам. Там произвольные коэффициеты и определялись из разложения начального распределения температуры в интеграл Фурье. Здесь произвольные коэффициенты определятся, как мы сейчас увидим, из разложения начального распределения температуры в ряд Фурье. В этом и заключается существенное отличие второй части метода Фурье (суперпозиция частных решений) в применении к задачам без краевых условий — бесконечный стержень — и к задачам с краевыми условиями — конечный стержень, о котором мы упоминали в самом начале этого параграфа.

Перейдем к определению произвольных коэффициентов или из начального условия (14.5). Это мы должны по отдельности сделать для каждой из задач А, Б и В.

Задача А. Решение имеет вид (см. (14.15А))

и начальное условие (14.5) записывается так:

Мы должны, следовательно, разложить функцию , заданную на интервале в неполный ряд Фурье — ряд косинусов. Как известно из теории рядов Фурье (см. [1], п. 121), коэффициенты разложения находятся формулам

Подставляя это выражение для в формулу (14.17А), получим искомое решение задачи.

Задача Б. Здесь решение имеет вид (см. (14.15Б))

и начальное условие записывается так:

Здесь мы должны разложить функцию заданную на интервале в ряд по синусам. Коэффициенты вычисляются по формулам

и, подставив это выражение в формулу (14.17Б), получим искомое решение задачи.

Задача В. Решение имеет вид (см. (14.15В))

и начальное условие записывается так:

Легко проверить, что система функций ортогональна на интервале (см. аналогичное доказательство на стр. 85). Поскольку

то коэффициенты разложения функции по ортогональной системе функций находятся по формулам (см. [1], п. 205).

Подставляя выражение (14.18В) в формулу (14.17В), получаем искомое решение задачи.

Заметим, что формулу (14.18В) можно получить иначе, опираясь только на знание обычных рядов Фурье. Сумма тригонометрического ряда

является четной функцией с периодом обладающей еще специальным свойством: , где - половина периода. Действительно, достаточно убедиться в том, что каждое слагаемое меняет знак на обратный при замене на , а это очевидно:

Графически это свойство иллюстрируется так: чтобы получить график функции на левой половине периода , можно график на правой половине зеркально отобразить относительно оси и затем сдвинуть на 21 влево («зеркально сдвинутые полуволны). Процесс построения графика в интервале показан на рис. 50.

Рис. 50.

Сначала кривая (1) из основного интервала (0, I) четно продолжается в интервал , в результате чего получается кривая (2). Затем кривую (2) сдвигаем на 21 вправо и берем ее зеркальное отображение относительно оси получаем кривую (3). Наконец, кривая (4) строится так: берем зеркальное отображение кривой (1) относительно оси и сдвигаем ею на 21 влево; то же получится, если кривую (3) зеркально отобразить относительно оси

Коэффициенты вычисляются но обычным формулам Фурье для четных функций:

так как подынтегральная функция имеет равные интегралы по четвертям периода: (0,1) и . В интервале (0,1) функция , и мы вновь получаем формулу (14.18В).