64. Задача Дирихле для полуплоскости.

Функция Грина для полуплоскости имеет вид

где — произвольная точка полуплоскости — точка, ей сопряженная. В этом случае

и границей Г служит прямая (Рекомендуем читателю получить формулу (20.7) самостоятельно.)

Далее (см. задачу Дирихле для полупространства, п. 61),

и решение запишется в виде (по формуле (18.20))

Выражение (20.8) называется интегралом Пуассона для полуплоскости, а

— ядром Пуассона для полуплоскоспш.

Физический смысл ядра Пуассона для полуплоскости состоит в том, что функция

представляет Стационарное распределение температуры в полуплоскости если граница — ось х — поддерживается при температуре (см. стр. 164), т. е. при температуре 0 для всех и температуре в точке (в смысле предельного перехода, который ведет к импульс ной функции Дирака ). Интеграл от ядра Пуассона для полуплоскости по границе полуплоскости равен 1:

Все эти утверждения предоставляем доказать читателю. Рассмотрим в заключение еще один пример.

Пример. Дана однородная полуплоскость граница которой — ось х — поддерживается при температуре О для и при температуре 1 для

Найдем стационарное распределение температуры в полуплоскости и соответствующие изотермы.

Рис. 73.

В интеграле формулы (20.8) сделаем замену переменной тогда

Начнем с изотермы На ней

т. e. , откуда

Эта изотерма является верхней полуокружностью радиуса l с центром в начале координат (рис. 73). Для

т. е.

Изотермой является дуга окружности радиуса лежащая в верхней полуплоскости. Окружность эта проходит через точки (±1, 0) и имеет свой центр на положительной полуоси в точке (). Для мы приходим к аналогичному результату, только цешр окружности будет располагаться на отрицательной полуоси (рис. 73).