31. Функции Бесселя первого порядка.
Найдем еще выражение для функции Бесселя первого порядка, т. е. 
. Подставляя ряд (10.3) и его производные в уравнение
(10.14)
получим
Объединяя первую, вторую и четвертую суммы вместе и замечая, что слагаемые, содержащие (во второй и четвертой суммах), уничтожаются, перепишем последнее равенство в виде
Отсюда ясно, что 
. Это значит, что решение в виде ряда существует только тогда, когда 
Рекуррентная формула, при помощи которой коэффициент 
выражается через 
выглядит так:
Поскольку 
то отсюда последовательно получаем, что все коэффициенты с четными индексами равны нулю:
Коэффициенты с нечетными индексами выразим через
Знаменателю выражения для 
удобнее придать несколько иной вид:
в разложение (10.3) и полагая 
, получим функцию Бесселя порядка 1 (первого рода)
показан на рис. 41; эта функция нечетная. Функция 
так же как и функция 
имеет бесчисленное множество корней 
— для больших 
.
смотри сноску на стр. 134. Отметим часто встречающуюся формулу
(10.16)
. Эта формула позволяет при помощи таблиц для 
вычислять значения 
входящие в формулу (10.11).
имеет экстремумы именно в тех точках, в которых функция 
обращается в нуль, т. е. в точках 
. Из рис. 42 видно, что корни функций Бесселя нулевого и первого порядков перемежаются, т. е. между двумя любыми последовательными корнями функции 
лежит обязательно один корень функции 
и наоборот.
получаются функции Бесселя 
Во всех случаях мы каждый раз находим одно частное решение уравнения; формула для второго частного решения имеет более сложный вид. Соответствующая функция 
также стремится к со при 
. Выражения для бесселевых функций не цеюго порядка мы не приводим.
