8. Распространение волн импульса.

Пусть теперь равны нулю начальные отклонения точек струны и струна колеблется в результате того, что в начальный момент ее точки получили некоторые начальные скорости. В этом случае говорят, что по струне распространяются волны импульса. Полагая в формуле (2.8) функцию , получим

где

И здесь, как и в п. 7, решение и слагается из двух волн: прямой волны и обратной волны . Форма первой из них в начальный момент имеет уравнение а второй — уравнение

В результате, как и следовало ожидать, получим .

Чтобы наглядно представить себе картину процесса, будем для простоты считать, что функция равна нулю всюду вне интервала , а в точках этого интервала принимает постоянное значение: . Иными словами, точкам струны, лежащим в интервале , придана постоянная начальная скорость направленная вверх. При этом функция в точках имеет разрывы.

Функция будет принимать следующие значения:

где Функция непрерывная и нечетная (рис. 10).

Рис. 10.

Перейдем теперь к геометрическому построению решения . В левом столбце рис. 11 построим графики обратной волны различные моменты времени, а в правом столбце — графики прямой волны в те же моменты времени (благодаря знаку минус графики прямой волны окажутся по отношению к графику функции перевернутыми). В среднем столбце показано результирующее отклонение точек струны. Мы сразу замечаем, что характер колебаний существенно отличается от распространения волн отклонения. Начнем для определенности с точки струны, находящейся в момент в начале координат.

По мере увеличения точка будет подниматься вверх; это ясно видно и из формулы (2.10), так как интервал интегрирования расширяется. При мы получим

Если теперь брать то все равно будет так как вне интервала функция равна нулю. Поэтому на рисунках, соответствующих значениям отклонение остается постоянным. Рассмотрим еще, к примеру, поведение точки Вначале, пока она будет подниматься вверх под действием обеих волн: прямой и обратной. При отклонение обратной волны в этой точке примет постоянное значение и точка будет продолжать подниматься уже только иод действием прямой волны. Наконец, при отклонения обеих волн достигнут величины — и смещение и станет равным

Если взять точку то отклонение обратной волны в этой точке постоянно равно отклонение прямой волны в начале равно и точка начнет подниматься вверх только тогда, когда до нее дойдет наклонный участок прямой волны, т. е. при Точка поднимется на максимальную высоту h, когда через нее начнет снова проходить горизонтальный участок прямой волны, т. е. при - рекомендуем читателю вычислить аналитически по формуле (2.10) отклонения и в рассмотренные моменты времени.

(см. скан)

Рис. 11.

Таким образом, окончательно графики функции при различных значениях t будут выглядеть так: при прямая при — профили в форме трапеций, у которых верхнее основание поднимается и уменьшается в размерах; при — треугольный профиль и при расширяющиеся профили, имеющие вид трапеций (рис. 11). С течением времени каждая точка струны под влиянием начальных скоростей, сообщенных участку струны , поднимется на высоту h и дальше будет все время оставаться на этой высоте смещение).

Рис. 12.

И в этом случае ход колебаний наглядно представляется при помощи фазовой плоскости (рис. 12).

Пользуясь выражениями для функции легко получим, что в зонах 11, IV и VI отклонение обратной волны постоянно равно у, а в точках зон 111, V и VI такое же отклонение имеет прямая волна — Поэтому зона VI представляет зону остаточного смещения; в точках, ей соответствующих, функция и . В зоне IV прямая волна имеет отклонение — такое же отклонение в зоне V имеет обратная волна. Поэтому обе эти зоны являются зонами покоя точек струны. Когда точка фазовой плоскости переходит из зоны IV в зону VI, то по мере прохождения ею второй зоны отклонение прямой волны изменяется от до

Пользуясь этими соображениями, напишем, например, выражения для функции , где

Рекомендуем читателю самостоятельно написать выражения для , где , а также выражения для рассмотрев случаи

Разумеется, описанный процесс носит еще более идеализированный характер, чем в нервом случае. Явление остаточного смещения фудно себе представить еще и потому, что если даже пренебречь влиянием концов струны, то неизбежно будет сказываться влияние силы тяжести, т. е. колебания нельзя будет рассматривать как свободные.