§ 19. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства

58. Сопряженные точки.

Основной трудностью при решении задачи Дирихле является нахождение функции Грина, которая в явном виде известна только для небольшого числа простых областей. В частности, функция Грина известна для шара, круга, полупространства и полуплоскости. Поэтому мы и займемся решением задачи Дирихле для этих областей. Решения, которые мы получим, играют важную роль в приложениях.

При построении функций Грина нам понадобится понятие сопряженных точек.

Две точки А и называются сопряженными относительно плоскости (в пространстве) или прямой (на плоскости), если они симметричны относительно этой плоскости или прямой. Так, точки сопряжены относительно плоскости а точки — относительно прямой

Несколько сложнее понятие сопряженное и относительно сферы (в пространстве) пли окружности (на плоскости) Точки называются сопряженными относительно сферы или окружности, если они лежат на одном луче, исходящем из центра О сферы пли окружности, произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса: , где R — радиус сферы или окружное! и.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то в пространстве точка сопряжена с точкой , где

Чтобы в этом убедиться, обозначим координаты сопряженной точки А через тогда силу определения Поскольку точки лежат на одном луче, выходящем из начала координат, то

т. е.

Совершенно аналогично получим, что точки , где сопряжены относительно окружности радиуса R с центром в начале координат.

Очевидно, что если точка А лежит внутри сферы пли окружности, то точка А находится вне сферы, соответственно окружности; если А лежит на сфере (окружности), то А совпадает с А. Центру сферы или окружности не сопряжена никакая точка. Для сферы и окружности геометрическое построение сопряженных точек состоит в следующем.

Пусть А лежит внутри окружности и не совпадает с ее центром (рис. 63); проведем через А хорду перпендикулярную лучу ОА, и через концы — касательные к окружности; эти касательные пересекаются в точке А на луче ОА, так как подобия треугольников вытекает, что откуда

Рис. 63.

Если мы будем вращать фигуру на рис. 63 вокруг оси ОЛЛ, то возникает соответствующее построение для сферы. Очевидно, что указанным образом можно по точке А построить точку Л (т. е. сопряженную с точкой, лежащей вне сферы или окружности).