§ 16. Некоторые пространственные задачи теплопроводности

47. Вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае.

Рассмотрим неравномерно нагретое тело. Пусть температура в каждой точке тела в момент времени I определяется функцией

Физические предпосылки были подробно рассмотрены в п. 34 при выводе уравнения линейной теплопроводности. Поэтому мы ограничимся краткими замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые возникают в пространственном случае

В любой момент времени t функция и определяет скалярное поле — поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением стационарных полей, когда температура и не зависит от времени . Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изменяется со временем. Если зафиксировать момент времени t, то совокупность точек, в которых температура принимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие от стационарного случая, форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться.

Как известно, направление наибольшей скорости изменения температуры и совпадает с направлением градиента функции при данном значении t. При этом

В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению:

Обобщая формулу (12.2), считают, что величина теплового потока чеоез малый участок Да изотермической поверхности за время равна

где k — коэффициент теплопроводности, которой мы считаем постоянным (см. стр. 146)).

Обратим особое внимание на роль знака «минус» в формуле (16.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т. е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно, по определению, , что и объясняет знак «минус» в формуле (16.1). Изменив направление нормали на противоположное, мы получили бы, что и опять-таки знак «минус» сохраняется.

В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси нормаль к ним совпадает с осью (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси ).

В теории теплопроводности доказывается, что формула (16.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только для изотермических).

Производная по направлению нормали к выбранной поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т. е. скалярному произведению на единичный вектор нормали

Поэтому поток тепла через участок любой поверхности за время М будет равен

Для краткости назовем вектор — и вектором теплового потока и обозначим через А:

Тогда есть поток вектора А через элементарную площадку за время

Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время будет равен произведению потока вектора А на М:

где — проекция А на внешнюю нормаль (рис. 60).

Рис. 60.

Поток Q будет положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.

Применяя к интегралу в формуле (16.3) теорему Гаусса — Осгроградского, запишем, что

где V — часть тела, ограниченная поверхностью S, а

где — оператор Лапласа.

Таким образом, количество тепла приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, будет равно (оно противоположно по знаку величине )

Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией (см. стр. 148). Тогда за промежуток времени в выбранной части тела выделится тепло равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)

Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности S. В точке за промежуток времени температура изменится на величину

Поэтому элементарному объему для такого изменения температуры потребуется количество тепла, равное , где с — удельная теплоемкость, — плотность, а всему объему — количество

которое должно быть равно сумме . Следовательно,

Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству

Равенство (16.7) должно соблюдаться для любой части тела V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела

Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства (16.8) — непрерывные функции. Действительно, если предположить, что в точке равенство (16.8) нарушается, т. е., например, в силу непрерывности это же неравенство будет соблюдаться и в некоторой области , окружающей точку . Но тогда интеграл по этой области, вопреки условию (16. 7), был бы величиной положительной. Подобное же рассуждение неоднократно встречалось в курсе анализа (см., например, [1], стр. 488).

Переписав равенство (16.8) в виде

получим основное уравнение теплопроводности коэффициент температуропроводности). Если тепловые источники внутри тела отсутствуют, и уравнение становится однородным:

Еще раз отметим, что уравнения (16.9) и (16.10) выведены в предположении, что все физические величины, характеризующие свойства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), постоянны.

Ясно, что уравнение (12.4) линейной теплопроводности является частным случаем уравнения (16.10).