12. Примеры.

Пример 1. Найти колебания струны с закрепленными концами если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму треугольника с вершиной в точке (рис. 19). Натяжение струны Т, плотность , величина Функция задается формулами

Функция , согласно условию, равна нулю.

Поэтому в общем выражении (3.13) для решения все коэффициенты

Коэффициенты находим по формуле (3.16):

Вычисляя интегралы по частям, получим:

и аналогично

Следовательно,

Подставляя выражение для в формулу (3.13), получаем искомое решение

Если число k таково, что т. е. точка с является узлом гармоники, то и в найденное решений соответствующая гармоника не входит (если — наименьшее из таких чисел, то все остальные будут ему кратны).

Пусть, например, с i руна оттянута в середине, т. е.

Тогда и при всех четных значениях k точка является узлом; поэтому в решение будут входить только Нечетные гармоники Читатель легко проверит, что в этом случае решение будет иметь вид

Выражение (3.20) для решения показывает, что амплитуда гармоники пропорциональна величине т. е. довольно быстро убывает с возрастанием номера

Это значит, что гармоники достаточно высоких порядков на результирующее колебание практически никакого влияния оказывать не будут.

Рис. 20.

Для построения формы струны в любой момент времени не обязательно производить вычисления по формуле (3.20), Можно воспользоваться уже хорошо изученным явлением отражения волны от закрепленного конца струни (см. п. 9); теперь только нужно отразить волну от обоих концов. Чтобы произвести построение, продолжим первоначальный график струны на интервале (0, I) «нечетным» образом влево и вправо и разобьем его на прямую и обратную волны. (На верхнем из рисунков 20, соответствующем моменту времени графики обеих волн сливаются.) Затем обычным образом строим графики прямой и обратной волн в разные моменты времени и складываем их в интервале (0, I). Весь этот процесс в промежутке времени изображен на рис. 20 и рис. 21 .

В следующий полупериод струна, пройдя в обратном порядке все отмеченные положения, вернется в первоначальное состояние (при после чего процесс будет периодически повторяться (с периодом ). Рис. 20 и 21 показывают существенное отличие характера полученного колебания от свойств стоячей волны. Так, например, если проходят положение равновесия в разные моменты времени; кроме того, струна не будет занимать положения, симметричного с первоначальным, относительно оси

Рис. 21.

Предоставляем читателю доказать, что функция определенная формулой (3.20), удовлетворяет условию

и объяснить геометрический смысл этого условия.

Пример 2. Пусть в условиях предыдущего примера начальная форма струны задается функцией , где — целое число, а начальные скорости равны нулю.

В этом случае начальное положение струны совпадает с графиком одной из собственных функций решение особенно просто. Помимо всех коэффициентов b обращаются в нуль и все при так как собственные функции ортогональны (см. стр. 59).

Найдем коэффициент

и, следовательно,

Таким образом, струна совершает стоячее колебание.

Пример 3. Пусть в условиях примера 1 начальная форма струны — парабола, симметричная относительно середины струны, и максимальное отклонение равно h (рис. 22). Найдем колебания струны.

Составляя уравнение параболы, получим

По-прежнему все вычисляются по формулам

Рис. 22.

Дважды интегрируя по частям, получим (необходимые выкладки читатель проведет самостоятельно)

Отсюда следует, что если k четно, то . Если же k нечетно и равно , то

Окончательно получаем решение в виде

Здесь амплитуды последовательных гармоник (нечетных) убывают еще быстрее, чем в первом примере.

В подобных случаях высшие гармоники оказывают влияние только на тембр звука, издаваемого струной, в то время как тон определяется основной наименьшей частотой (см. формулу (3.19)).

Пример 4. Пусть в начальном положении струна находится в покое и точкам ее на участке придана постоянная начальная скорость (этого можно добиться, ударяя но струне на этом участке плоским жестким молоточком). Найдем колебания струны.

Сохраняя предыдущие обозначения, будем иметь

(мы уже отмечали тот факт, что функция ) может быть разрывна). Коэффициенты общей формулы (3.13) равны нулю, а коэффициенты находятся по формулам (3.17):

Следовательно,

В частном случае, если начальные скорости получают все точки струны ), то

(для четных k разность равна нулю, а для нечетных — двум). Нетрудно найти в этом случае наибольшее отклонение струны от положения равновесия. Физически ясно, что больше всего отклонится от положения равновесия середина струны, т. е. точка

Выбирая еще момент времени , получим

Так как , то это значение и и будет наибольшим. Учитывая формулу

найдем, что .

Пример 5. Пусть в условиях примера 4 струна возбуждается ударом очень острого молоточка, передающего струне импульс в точке с. Начальное отклонение точек струны равно нулю.

В этой задаче мы имеем дело с так называемым сосредоточенным импульсом. Будем понимать это следующим образом: сначала положим, что импульс равномерно распределен по некоторому малому участку струны окружающему точку с.

Тогда, в силу закона сохранения количества движения, будет соблюдаться равенство

где — линейная плотность струны, а — приобретаемая ею на участке начальная скорость. Найдя решение этой задачи и перейдя к пределу при , мы получим искомое решение.

Положим в формуле

По правилу Лопиталя

Считая возможным почленный переход к пределу под знаком суммы, получим решение задачи о колебаниях струни под действием сосредоточенного импульса

Пример 6. Пусть в условиях примера 4 начальное распределение скоростей задается функцией

Показать, что колебания струны описываются функцией